Una potencia es una expresión de la forma $ \large a^n$ donde $a$ es la base y $n$ es el exponente. 

El exponente $n$ nos indica el número de veces que tenemos multiplicar la base $a$. Así, $2^5=2·2·2·2·2=32$. En ocasiones, las potencias son números muy grandes y difícil de calcular haciendo los productos, por eso es importante que conozcas tu calculadora y cómo calcular las potencias con ella. La tecla que debes utilizar para hallar el valor de las potencias depende de la calculadora que uses. Suele ser de la forma "^" o "$x^y$". En las siguientes imágenes te mostramos dos tipos diferentes.

Las potencias aparecen con frecuencia en la vida real. Si volvemos al punto 3 de esta situación de aprendizaje, recuerda que tuviste que multiplicar varias veces por $ \dfrac{4}{3}$ para completar la tabla que te pedían y contestar a las preguntas. Con las potencias no hubiera sido necesario hacer los productos. Para calcular el dinero disponible el sexto año solamente hubiéramos tenido que multiplicar por  $ \left( \dfrac{4}{3}\right)^6$, para obtener  $\left(\dfrac{4}{3}\right)^6·90=505.68$.

En la definición de potencia que hemos dado hemos utilizado los números naturales para los exponentes, pero también podemos utilizar cualquier número real. Utilizaremos:

1. 1. $\bf{ {a}^{-n}=\left( \dfrac{1}{a}\right)^n}$.
      
      
   2. $\bf{a^0=1}$.
      
      
   3. $\bf{a^{{\large{ \frac{x}{y}}}} = \sqrt[y]{a^x}}$.

De esta forma podemos calcular:

• $2^{-3}=\left( \dfrac{1}{2}\right)^3= \dfrac{1}{2^3}= \dfrac{1}{8}$.
  
  
• $\left( \dfrac{2}{3}\right)^{-2}=\left( \dfrac{3}{2}\right)^{2}= \dfrac{9}{4}$.
  
  
• $7^0=1$.
  
  
• $8^{{\large{ \frac{2}{3}}}} = \sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$ (Las raíces las estudiaremos en el siguiente punto de la situación de aprendizaje). 

Para simplificar las operaciones con potencias es importante conocer sus propiedades. Éstas nos facilitarán con frecuencia los cálculos con potencias. Veamos las propiedades y algunos ejemplos:

1. $\bf{a^x·a^y=a^{x+y}}$. Por ejemplo, $3^5·3^4=3^9$.
   
   
2. $\bf{ { \dfrac{a^x}{a^y}}=a^{x-y}}$. Por ejemplo, $ { \dfrac{2^5}{2^8}}=2^{5-8}=2^{-3}$.
   
   
3. $\bf{\left(a^x\right)^y=a^{x·y}}$. Por ejemplo, $\left(5^3\right)^4=5^{3·4}=5^{12}$.
   
   
4. $\bf{\left(a·b\right)^x=a^x·b^x}$. Por ejemplo, $\left(2·3\right)^5=2^5·3^5$.
   
   
5. $\bf{ {\left( \dfrac{a}{b}\right)^x= \dfrac{a^x}{b^x}}}$. Por ejemplo, $ {\left( \dfrac{5}{3}\right)^4= \dfrac{5^4}{3^4}}$.

Estas propiedades nos permitirán calcular y simplificar expresiones que, sin conocer las propiedades, sería largo y tedioso. Veamos algunos ejemplos:

• $ \dfrac{2^{12}·2^{15}}{2^{27}}= \dfrac{2^{27}}{2^{27}}=2^0=1$.
  
  
• $ \dfrac{\left(3^3\right)^5·9^{2}}{3^{2}}= \dfrac{3^{15}·\left(3^2\right)^2}{3^{2}}= \dfrac{3^{15}·3^4}{3^{4}}= \dfrac{3^{19}}{3^{4}}=3^{15}$.

Puedes practicar con el siguiente ejercicio:

La distancia de la Tierra al Sol es de unos $150000000000$ metros. El radio del átomo de hidrógeno es de $0.0000000000529167$ metros. Este tipo de números, muy grandes o muy pequeños, se utilizan con mucha frecuencia en disciplinas como la astronomía, la física o la química.

Cuando los números son muy grandes o muy pequeños, como en los casos anteriores, solemos utilizar una forma abreviada para escribirlos, la notación científica.

Decimos que un número está escrito en notación científica cuando es de la forma m · $\bf{10^n}$ donde n es un número entero y m un número decimal cuya parte entera tiene una sola cifra distinta de 0. Diremos que el número $m · 10^n$ tiene orden de magnitud n

Así, $150000000000=1.5·10^{10}$  y tiene orden de magnitud 10 y  $0.0000000000529167=5.29167·10^{-11}$ y tiene orden de magnitud -11

Para escribir un número en notación científica debemos escribir el correspondiente número perteneciente a [1,10) (o [-1,-10) si es negativo) y multiplicarlo por la potencia de 10  que necesitamos para obtener nuestro número. Así por ejemplo:

• $3000=3·10^3$
  
  
• $0.003=3·10^{-3}$
  
  
• $-232000000000=-2.32·10^{-11}$
  
  
•  $-0.0000000000012=-1.2·10^{-12} $   

En ocasiones tenemos los números en notación científica y necesitamos operar con ellos. Veamos cómo hacerlo:

Productos y divisiones: 

Para multiplicar dos números en notación científica debemos multiplicar por un lado los números que preceden a las potencias de 10 y por otro las potencias de 10 aplicando las propiedades. Así, $(2.3·10^5)·(3·10^4)=2.3·3·10^{5+4}=6.9·10^9$. En ocasiones el número que obtenemos no está en notación científica y debemos pasarlo a notación científica. Por ejemplo, $(4.1·10^6)·(3·10^{-3})=12.3·10^{3}=1.23·10^4$ dejando un solo dígito delante del punto decimal.

Para dividir procedemos de forma similar. $(6.3·10^5):(3·10^9)=(6.3:3)·10^{5-9}=2.1·10^{-4}$. De la misma forma que antes, ahora también podemos obtener un número que no está en notación científica.  $(2.4·10^3):(3·10^{-6})=0.8·10^{3-(-6)}=0.8·10^{9}=8·10^8$. Observa que el orden de magnitud del segundo número es negativo, por tanto tenemos que restar un número negativo, o lo que es lo mismo, sumar el opuesto, $3-(-6)=3+6=9$.

Sumas y restas:

Para sumar o restar dos números en notación científica deben tener el mismo orden de magnitud. Sólo hemos de sumar o restar los números que preceden a la potencia de 10 y dejar el mismo orden de magnitud. $(5.3·10^6)+(2.1·10^6)=(5.3+2.1)·10^{5}=7.4·10^5$. Si no tienen el mismo orden de magnitud debemos escribir uno de los dos de forma diferente para que las potencias de 10 sean iguales. Lo vemos en el siguiente ejemplo:

$(5.6·10^6)-(3.1·10^8)=0.056·10^{8}-3.1·10^{8}=-3.044·10^8$.

Puedes practicar con los siguientes ejercicios: