4. La recta real

1. Representación de los números reales

Vamos a recordar cómo se representan los números reales en la recta real. Si fijamos el 0 y el 1 podemos representar sin dificultad el resto de números enteros, los positivos a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda. También es sencillo representar los números racionales. Si queremos representar el número $\dfrac{3}{4}$ dividimos la unidad en cuatro partes y nos quedamos con la tercera. Si el número está en forma decimal, dividimos la unidad en 10 partes para las décimas, en 100 para las centésimas y así sucesivamente. Por ejemplo, para representar el -1.3 , dividimos la unidad que va desde el -1 al -2 en 10 unidades y nos quedamos con la tercera.

Si sólo representamos los números racionales la recta tendrá huecos, son los que corresponden a los números irracionales. Sabemos que los números irracionales no los podemos obtener dividiendo números enteros, así que no los podremos representar dividiendo las unidades como hemos hecho con los racionales. Por ejemplo, el número $\sqrt{2}$ tiene infinitas cifras decimales y, como puede observarse en la figura anterior, está comprendido entre 1.3 y 1.4.

2. Aproximación y error

En la vida cotidiana utilizamos aproximaciones con mucha frecuencia, bien por comodidad y porque la diferencia entre la aproximación y el número real es irrelevante, o bien porque no podemos obtener el número con exactitud.

Por ejemplo, si un coche nos cuesta 35520€ y nos preguntan por su precio, solemos contestar que nos ha costado 35000€. Los 520€ de diferencia son poco relevantes.

Vamos a ver cómo aproximar los números decimales. Diremos que aproximamos a las unidades si aproximamos con un número entero sin decimales, hasta las décimas si aproximamos mediante un número con un decimal, hasta las centésimas si aproximamos con dos decimales, hasta las milésimas si aproximamos con tres decimales y así sucesivamente.

Podemos aproximar de dos formas diferentes:

Por truncamiento

Consiste en eliminar todas las cifras decimales a la derecha de la cifra que queremos truncar.

Por ejemplo:

La aproximación por truncamiento hasta las unidades de 2.7265 es 2
La aproximación por truncamiento hasta las décimas de 2.7265 es 2.7
La aproximación por truncamiento hasta las centésimas de 2.7265 es 2.72
La aproximación por truncamiento hasta las milésimas de 2.7265 es 2.726

Por redondeo

Consiste en aproximar al número más próximo. Seguiremos la siguiente regla:

Si la cifra decimal siguiente a la que queremos aproximar es menor que 5, eliminamos todas las cifras siguientes a la que vamos a aproximar.
Si la cifra decimal siguiente a la que queremos aproximar es mayor o igual que 5, sumamos uno a la cifra que vamos a aproximar y eliminamos todas las cifras siguientes.

Por ejemplo:

La aproximación por redondeo hasta las unidades de 2.7265 es 3 porque la cifra siguiente a 2 es 7 que es mayor que 5.
La aproximación por redondeo hasta las décimas de 2.7265 es 2.7 porque la cifra siguiente a 7 es 2 que es menor que 5.
La aproximación por redondeo hasta las centésimas de 2.7265 es 2.73 porque la cifra siguiente a 2 es 6 que es mayor que 5.
La aproximación por redondeo hasta las milésimas de 2.7265 es 2.727 porque la cifra siguiente a 6 es 5 que es mayor o igual que 5.

3. Practica con las aproximaciones

En el siguiente applet de Geogebra puedes practicar con las aproximaciones hasta que lo domines. Puedes repetirlo cuantas veces quieras. Para comprobar la solución debes pulsar en el botón ✔

https://www.geogebra.org/m/kAyzmmBy (Ventana nueva)

Javier%20Cayetano%20Rodr%EDguez,https%3A//ggbm.at/8129741,Truncar%20y%20Redondear.%20Aproximaciones,1,Autor%EDa

Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

4. Errores

Al utilizar aproximaciones cometemos errores, puesto que el número que utilizamos como aproximación es diferente al número que queremos aproximar.

Llamamos error absoluto al valor absoluto de la diferencia ente el valor real del número y la aproximación que utilizamos, es decir $E_{a} = \left|\text{valor real - aproximación}\right|$.

Por ejemplo, si una mesa mide 1.2321 metros y nosotros aproximamos hasta las centésimas obtenemos 1.23. El error absoluto será $E_{a}= \left|1.2321-1.23\right| $=0.0021 metros.

Sin embargo no es lo mismo cometer un error de 0.0021 metros al medir una mesa que al medir una distancia entre dos ciudades. Para medir la importancia de ese error utilizamos el error relativo.

Llamamos error relativo al error absoluto dividido por el valor real del número, es decir $E_{r} = \dfrac{E_{a}}{\text{valor real}} = \dfrac{\left|\text{valor real - aproximación}\right|}{\text{valor real}}$.

Por ejemplo si aproximamos el número 1.521 hasta las décimas obtenemos el número 1.5. Los errores serán:

$E_{a}= \left|1.521-1.5\right|=0.21 $

$E_{r}=\dfrac{0.21}{1.521}\simeq 0.138$

Si aproximamos el número 100.521 hasta las décimas obtenemos el número 100.5. Los errores serán:

$E_{a}= \left|100.521-100.5\right|=0.21 $

$E_{r}=\dfrac{0.21}{100.521}\simeq 0.002$

Observa que en ambos casos el error absoluto es el mismo, sin embargo el error relativo es mucho más pequeño en el segundo caso porque 100.521 es bastante mayor que 1.521.

5. Ejercicios resueltos

Imagen de elaboración propia generada con Leonardo.ai. *Icono de un reloj* (CC BY-NC-SA)

1. Aproxima por redondeo hasta las milésimas el número 3.3499 y halla los errores absoluto y relativo.

2. Todos los artículos de una tienda tienen un descuento de un tercio de su valor. Un reloj tenía un valor de 100€. ¿Cuánto costará después del descuento?

Aproxima su valor por redondeo hasta los céntimos y calcula los errores relativo y absoluto.

1. Debemos aproximar con tres decimales y, como el cuarto decimal es 9>5, debemos sumar 1 a la tercera cifra que es 9. Al añadir una unidad al 9 debemos escribir 0 y añadir una unidad a la segunda cifra. De esta forma obtenemos que la aproximación hasta las milésimas es 3.350 y como los ceros a la derecha de la coma no los escribimos nos quedamos con la aproximación 3.35. Calculemos los errores:

$E_{a}=|3.3499-3.35|=0.0001$

$E_{r}=\dfrac{E_{a}}{3.3499}\simeq0.0000299$

2. Como nos descuentan $ \dfrac{1}{3}$ de su valor pagaremos $ \dfrac{2}{3}$100=$ \dfrac{200}{3}$. Si hacemos la división obtenemos el número periódico 66.6666..., así que la aproximación hasta las centésimas será 66.67. Para hallar los errores debemos utilizar el número $ \dfrac{200}{3}$=66.666.... Observa que tiene infinitos decimales, luego para operar con él es conveniente utilizar el número en forma de fracción y obtenemos:

$E_{a}= \left| \dfrac{200}{3}-66.67\right|=\left| \dfrac{200}{3}- \dfrac{6667}{100}\right|=\left| \dfrac{20000}{300}- \dfrac{20001}{300}\right|= \dfrac{1}{300}=0.00333...$

$E_{r}= \dfrac{E_{a}}{ \dfrac{200}{3}}= \dfrac{ \dfrac{1}{300}}{ \dfrac{200}{3}}= \dfrac{3}{300·200}= \dfrac{1}{20000}=0.00005$

6. Intervalos

Para denotar el conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos números dados utilizaremos los intervalos.

Así, dados dos números reales $a$ y $b$ tales que $a<b$, tendremos los siguientes intervalos :

Intervalo abierto

Escribiremos ($a,b$) para denotar el conjunto de todos los números reales que son mayores que $a$ y menores que $b$, o dicho de otro modo $\left\{ x\in \Re: a <x<b\right\}$

Gráficamente

Imagen de elaboración propia. *Intervalo abierto* (CC BY-NC-SA)

Observa que los números $a$ y $b$ no pertenecen al intervalo ($a,b$).

Intervalo cerrado

Escribiremos [$a,b$] para denotar el conjunto de todos los números reales que son mayores o igual que $a$ y menores o igual que $b$, o dicho de otro modo $\left\{ x\in \Re: a \leq x \leq b\right\}$

Gráficamente

Imagen de elaboración propia. *Intervalo cerrado* (CC BY-NC-SA)

Observa que ahora $a$ y $b$ sí pertenecen al intervalo [$a,b$].

Intervalo semiabierto o semicerrado

Escribiremos ($a,b$] para denotar el conjunto de todos los números reales que son mayores que $a$ y menores o igual que $b$, o dicho de otro modo $\left\{ x\in \Re: a < x \leq b\right\}$

Gráficamente

Intervalo semiabierto por la izquierda — Imagen de elaboración propia. *Intervalo semiabierto en a* (CC BY-NC-SA)

Observa que ahora $a$ no pertenece a ($a,b$] y $b$ sí pertenece al intervalo ($a,b$].

También puede ocurrir que el intervalo sea cerrado en $a$ y abierto en $b$ y escribiremos [$a,b$) para denotar el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales que $a$ y menores que $b$, o dicho de otro modo $\left\{ x\in \Re: a \leq x < b\right\}$

Gráficamente

Intervalo semiabierto por la derecha — Imagen de elaboración propia. *Intervalo semiabierto en b* (CC BY-NC-SA)

Ahora $a$ sí pertenece a [$a,b$) y $b$ no pertenece al intervalo [$a,b$).

Semirrecta

Escribiremos [$a,\infty$) para denotar el conjunto de todos los números reales que son mayores o iguales que $a$ o dicho de otro modo, $\left\{ x\in \Re: x \geq a\right\}$

Gráficamente

Imagen de elaboración propia. *Semirrecta por la derecha* (CC BY-NC-SA)

Ahora $a$ sí pertenece a [$a,\infty$). En el extremo del $\infty$ siempre escribimos ) puesto que $\infty$ no es un número real.

De la misma forma tenemos la semirrecta ($a,\infty$) que no contiene a $a$.

Podemos escribir la semirrecta por la izquierda con el intervalo ($-\infty,b$] para denotar el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $b$ o de otra forma, $\left\{ x\in \Re: x \leq b\right\}$

Gráficamente

$b$ sí pertenece a ($-\infty,b$]. En el extremo del $\infty$ siempre escribimos ( puesto que $\infty$ no es un número real.

8. Practica con los intervalos

En la siguiente actividad debes utilizar el teclado de botones que aparece en la pantalla para introducir el intervalo que te piden. Cuando aparecen flechas, aunque pueden ser de distinto tamaño, la imagen se refiere a una semirrecta. Puedes practicar todo lo que necesites pinchando sobre OTRO EJERCICIO.

https://www.geogebra.org/m/zkp6f7tt (Ventana nueva)

acrusot79,https%3A//www.geogebra.org/m/zkp6f7tt,intervalos,1,Autor%EDa

Actividad%20no%20completada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Guardar%20la%20puntuaci%F3n

4. La recta real

1. Representación de los números reales

2. Aproximación y error

Por truncamiento

Por redondeo

3. Practica con las aproximaciones

4. Errores

5. Ejercicios resueltos

6. Intervalos

Intervalo abierto

Intervalo cerrado

Intervalo semiabierto o semicerrado

Semirrecta

7. Cuestionario de intervalos

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

Pregunta

Respuestas

Retroalimentación

Solución

8. Practica con los intervalos