3. Distribución Normal

Ahora sí, vamos ya de lleno con la Distribución Normal.

Acabamos de decir que para calcular probabilidades en una variable continua tenemos que conocer la función de densidad de ésta. Pues bien, si una variable aleatoria continua sigue una distribución  normal, debemos conocer antes de nada cuáles son la media μ y la desviación típica σ. Estos dos valores son los parámetros que caracterizan y distinguen cada distribución normal (al igual que "n" y "p" en la binomial.)

Conocidos estos dos parámetros, si X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ, X~N(μ , σ), la función de densidad de X será:

 

 

Y la representación gráfica, aplicando todo lo que vimos en el tema de representación de funciones (dominio, cortes con ejes, extremos relativos,...)  será similar a esta:

 

Gráfica de la función de densidad de la normal 0,1

Aquí hemos representado la que tiene de media 0 y desviación típica 1, pero la gráfica de esta función para cualquier valor de  μ y σ siempre tiene el mismo aspecto, como una campana, de ahí, que también a la Distribución Normal se le llame "Campana de Gauss." ¿Pillas ahora el título del tema?

 

¿Te has recuperado ya del susto? Bueno, no te preocupes que tampoco es que tengamos que utilizar ese pedazo de función para lo que nos interesa.

Ahora ya podríamos calcular la probabilidad de cualquier intervalo en cualquier distribución normal calculando el área que hay bajo esa función de densidad dentro del intervalo en cuestión. Pero eso no es que sea un juego de niños precisamente.

En Matemáticas, esto se hace usando el concepto de integral, algo similar a la operación contraria de la derivada, pero para esta función es tan sumamente complicado que se utilizan otras herramientas para calcular estas probabilidades, aunque en el fondo de esos cálculos están las integrales.

En la siguiente escena de geogebra realizada por Jorge Cotera, aparece representada la función de densidad de una distribución normal. En la cual puedes ir deslizando el valor de la variable x, y  podrás ver sombreada el área de la región que corresponde con el valor que toma la función de probabilidad.

 

AV - Reflexión

Manipula la siguiente escena y contesta a las siguientes cuestiones:

 

  1. ¿Qué efecto produce sobre la función de densidad aumentar la media? ¿Y disminuirla?
  2. ¿Qué efecto produce sobre la función de densidad aumentar la desviación típica de la Normal? ¿Y disminuirla?
  3. Si X es N(0,1), ¿Cuál es la probabilidad de que X esté entre 2,1 y 3,5?
  4. Si X ~ N(0,1), calcula P(-3<X<0)
  5. Si X ~ N(0,1), calcula P(X ≥ -1)  (Aleja el punto B)
  6. Si X ~ N(1,5 ; 0,6), calcula P(-2<X<2)
  7. Si X ~ N(-0,5 ; 1,5), calcula P(-2<X<2)
  8. Si X ~ N(8 , 2), calcula P(0≤X≤10) (Usa el zoom para ver la función)
  9. Si X ~ N(8 , 2), calcula P(X≥0)  
  10. Si X ~ N(3 ; 0,5), calcula P(X<3)  
  11. Si X ~ N(-2; 0,6), calcula P(X<-2)  

Curiosidad

 

Si te fijas bien en la gráfica de esta función, puedes ver que:

El dominio es el conjunto de todos los números reales.

Respecto a la media, la función es simétrica.

Tiene asíntota horizontal y = 0, tanto cuando x se va a  -∞ como a  +∞.

La función es creciente hasta que x llega al valor de la media y decreciente a partir de él. Por tanto, en x = μ la función alcanza su máximo.

Otra propiedad curiosa que cumple esta distribución es que las tres medidas de centralización coinciden, es decir, moda, mediana y media coinciden en el valor de μ.