3.2. Cálculo de probabilidades en una Distribución Normal

Todavía nos falta un poquito para poder calcular cualquier probabilidad, y es que, con esa tabla podemos calcular probabilidades del tipo P(Z < a) y además con "a" un número positivo, pero, ¿Y si me interesa algo del tipo Z>a o Z< -a o que Z esté entre dos valores?

Bien, pues vamos a ver cómo resolver estas cuestiones. Empezamos por la más fácil: probabilidad de Z mayor que un número positivo:

P( Z > a)

si te fijas, Z > a es lo contrario de Z ≤ a. Por tanto, esta probabilidad se calcula aplicando la propiedad de los sucesos complementarios

Luego P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

Vamos ahora con la probabilidad de que una distribución sea menor que un número negativo:

P(Z < -a)

P(Z ≤ -a) = 1 - P(Z ≤ a)

Fíjate en el siguiente ejemplo:

Supongamos que queremos calcular P{ Z ≤ -1,53}. Dicha probabilidad está representada por el área sombreada en la siguiente figura 1.

Figura 1

El número -1,53 no figura en la tabla, pero eso no nos impide calcular la probabilidad en cuestión. Simplemante hay que tener en cuenta que, por la simetría de la campana de Gauss se tiene:

P{ Z ≤-1,53}= P{ Z >1,53}

La probabilidad que figura en el segundo miembro de la ecuación está respresentada en el área sombreada en la figura 2:

Figura 2

Dicha probabilidad es la complementaria de la probabilidad P{ Z ≤ 1,53}, representada en la figura 3.

Figura 3

Es decir: P{ Z ≤ 1,53}+ P{ Z > 1,53}= 1. Para hallar P{ Z ≤ 1,53} simplemente vamos a la tabla y consultamos:

Y ahora la de Z > que un número negativo:

P( Z > -a)

Hacemos lo mismo que antes, aplicando la propiedad de sucesos complementarios, esta probabilidad es 1 - P(Z ≤ -a) que es la que acabamos de calcular, luego:

P(Z > -a) = 1 - P(Z ≤ -a) = 1 - [ 1 - P(Z ≤ a) ] = 1 - 1 + P(Z ≤ a) = P(Z ≤ a).

Y para terminar la de un intervalo:

P(a ≤ Z ≤ b)

Se cumple que:

P(a ≤ Z ≤ b) = P( Z ≤ b) - P(Z ≤ a)

Fíjate en el siguiente ejemplo:

Supongamos que queremos calcular P{0,41 < Z ≤ 1,62}. Esta probabilidad está representada por el área sombreada en la figura 1.

Figura 1

Dicha probabilidad se puede calcular como

P{ 0,41 < Z ≤ 1,62}.= P{ Z ≤ 1,62}- P{Z ≤ 0,41}

El minuendo y el sustraendo están representados por las áreas sombreadas en las siguientes figuras 2 y 3, respectivamente.

Figura 2

Figura 3

La busca en la tabla nos da los valores:

P{ Z ≤ 1,62} = 0,9474, y P{Z ≤ 0,41} = 0,6591 .

Por lo tanto:

P{ 0,41 < Z ≤ 1,62}= 0,9474 - 0,6591= 0,2883

Importante

Cálculo de probabilidades en una distribución Normal.

Si "a" es un número positivo y Z sigue una distribución N(0,1):

P(Z < a) → A partir de la tabla de probabilidades de una distribución N(0,1)
P(Z > a) = 1 - P( Z < a)
P(Z < -a) = 1 - P( Z < a)
P(Z > -a) = P ( Z < a )
P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)

Ejemplo o ejercicio resuelto

Imagen de Fartese bajolicencia Creative Commons

Uno de los juegos favoritos de Gonzalo y Blanca cuando van al casino es la ruleta, pero tras mucho tiempo jugando a ella, María José, la profesora de la Universidad de Nagora, ha analizado sus ganancias en cientos de euros y ha llegado a la conclusión de que siguen una distribución normal N(0,1), por lo que no es demasiado rentable, pues como término medio esperan ganar 0 €. ¡Bueno, al menos no pierde!

Pero aprovechando esto, vamos a plantear algunas cuestiones sobre las posibilidades que tienen Blanca y Gonzalo uno de los días que van al casino.

Por ejemplo, ¿con qué probabilidad ganan algo? ¿Con qué probabilidad ganan menos de 250 €? ¿Y más de 125? ¿Con qué probabilidad pierden más de 234 €? ¿Y menos de 301 €?

¿Es muy probable que un día cualquiera su ganancia esté entre 94 y 338 €?

Retroalimentación

Empezamos. como tenemos una distribución normal de media cero y desviación típica 1, vamos a llamar Z a nuestra variable, aunque podíamos haberla llamado X perfectamente. Entonces:

Z=Dinero ganado por Gonzalo y Blanca ( en cientos de €) → Z~N(0,1)

En cada caso, tenemos que observar como cuál delos cinco apartados del "Importante" es, y una vez que hemos hecho el cambio pertinente, buscar en la tabla la probabilidad de Z menor que el número positivo.

P(Ganar algo) = P(Z > 0) → Estamos en el segundo caso, así que:

P(Z > 0)= 1 - P(Z ≤ 0) = 1 - 0,5 = 0,5.

O sea, que tiene las mismas probabilidades de ganar algo de dinero que de perderlo.

P(Ganar menos de 250 €) = P(Z < 2,50) (recuerda que la variable se expresa en cientos de euros, no en euros)→ Primer caso, por tanto, miramos directamente en la tabla.

P(Z < 2,50) = 0,9938

P(Ganar más de 125 €) = P(Z > 1,25) → 2º caso, luego 1 menos probabilidad Z <.

P(Z > 1,25) = 1 - P(Z ≤ 1,25) = 1 - 0,8944 = 0,1056

P(perder más de 234 €). Fíjate que perder dinero es como ganar dinero negativo (Z expresa ganancia), y si pierdes más de 234 euros quiere decir que has perdido 235, 236,... ó lo que es lo mismo que ganas -235, -236,...

Luego P(perder más de 234) = P(ganar menos de -234 €) = P(Z < -2,34). Estamos entonces en el tercer caso.

Entonces, P(Z < -2,34) = 1 - P(Z < 2,34) = 1 - 0,9904 = 0,0096. Es, por tanto, muy poco probable que pierda tanto dinero.

P(perder menos de 301 €). Aplicando lo mismo de antes, perder menos de 301 es ganar más de -301 €, luego tenemos que calcular la probabilidad P( Z > -3,01). 4º caso pues ( Z > negativo = Z < positivo)

P(Z > -3,01) = P(Z < 3,01) = 0,99865 mirando en la tabla. Es por tanto casi seguro que va a perder menos de 301 €.

P(Ganar entre 94 y 338) = P(0,94 < Z < 3,38) Estamos en el caso de un intervalo, así la probabilidad de que sea menor que el segundo menos la probabilidad de que sea menor que el primero:

P(0,94 ≤ Z ≤ 3,38) = P( Z ≤ 3,38) - P( Z ≤ 0,94) = 0,99964 - 0,8264 = 0,17324, así que no, no es demasiado probable.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Ahora te toca a ti. Calcula las siguientes probabilidades usando las propiedades vistas arriba y la tabla de probabilidades de la distribución Normal N(0,1) y como siempre separa la parte entera de la decimal con ",":