3.2. Derivadas de operaciones con funciones

Si seguimos con nuestro ejemplo de la función f(x)=x²-2x, y recurrimos a nuestra tabla de funciones elementales, podremos derivar sin problema x², ¿pero qué ocurre con 2x? ¿y con la resta de ambas? Necesitamos nuevas reglas, para derivar las operaciones con funciones: suma, resta, multiplicación...

Actividad

Suma	(f+g)'=f'+g'	La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de estas funciones
Resta	(f-g)'=f'-g'	La derivada de la diferencia de funciones es la diferencia de las derivadas de estas funciones
Producto	(f·g)'=f'·g+g'·f	La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la segunda derivada por la primera sin derivar.
Cociente	$\small {\left ( \frac{f}{g} \right )}'=\frac{f'\cdot g-g'\cdot f}{g^{2}}$	La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, y todo ello dividido por el denominador al cuadrado
Producto por un número	(a·f)'=a·f'	La derivada del producto de un número real por la función es igual al número real por la derivada de la función
Composición	(g°f)'=[g(f(x))]'=g'(f(x))·f'(x)	Regla de la cadena (desarrollada más abajo)

Veamos unos ejemplos en la siguiente presentación

Reglas de derivación

Presentación por Patricia Pérez alojada en SlideShare

La mejor forma de aprender a derivar es derivando, así que aquí tienes unos videos del Profesor de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Juan Medina Molina (juanmemol). Quizás sea una buena idea que pinches para verlos en pantalla completa, o pinchando sobre ellos para verlos en la página de youtube:

Derivada de un monomio

Derivada de una exponencial

Derivada de un polinomio

Derivada de un producto

Derivada de un monomio

Vídeo alojado en Youtube

Derivada

Vídeo alojado en Youtube

Derivada de un polinomio

Vídeo alojado en Youtube

Derivada - Producto de polinomios

Vídeo alojado en Youtube

Derivada de un cociente

Derivada de una composición

Derivada - Cociente de polinomios

Vídeo alojado en Youtube

Derivada - Potencia de cociente de polinomios

Vídeo alojado en Youtube

Derivada - Seno

Vídeo alojado en Youtube

Derivada (Coseno al cuadrado)

Vídeo alojado en Youtube

Importante

Derivada: regla de la cadena. Mariano Real.

Vídeo alojado en Youtube

Normalmente, las funciones que solemos encontrarnos no son funciones simples como las que vemos en la tabla de derivadas, sino que son funciones que se obtienen como composición de funciones simples.

Por ejemplo $f(x) = \begin{verbatim}Ln\end{verbatim} (x^4+3)$ , en este caso vamos a aplicar lo que se conoce con el nombre de regla de la cadena.

Si llamamos $f(x) = \begin{verbatim}Ln\end{verbatim} (x) \ \begin{verbatim} y \end{verbatim} \ h(x) = x^4+3$ tenemos que $f(x) = g \left( h (x) \right)$

La regla de la cadena nos dice que la derivada de una función compuesta es

$f(x) = g \left( h (x) \right) \ \Rightarrow \ f'(x) = g' \left( h (x) \right) \cdot h' (x)$

En nuestro caso

$f'(x) = \frac{1}{h (x)} \cdot 4x^3 = \frac{4x^3}{x^4+3}$

Ponemos a tu disposición dos tablas de derivadas tabla 1, tabla 2. Ambas recogen tanto la derivación de las funciones elementales como las compuestas. Utiliza la que te resulte más cómoda.

Una aplicación de la regla de la cadena para las funciones trigonométricas la observamos en el siguiente vídeo:

Derivada de funciones trigonométricas. Mariano Real.

Vídeo alojado en Youtube

Ejemplo o ejercicio resuelto

Calcule f '(1) sabiendo que

Ejemplo o ejercicio resuelto

Calcule f '(1) sabiendo que .

Reflexión

Dadas las funciones $g(x) = \begin{verbatim}sen\end{verbatim} (x)\begin{verbatim} y \end{verbatim}h(x) x^2+4$ Calcula la derivada de la suma y el producto de ambas.