2. Derivada de una función

Unos versos de Luis Cernuda dedicados al instante y un vídeo sobre gotas de agua nos han servido para empezar este tema de una forma algo nostálgica. En la escena del vídeo vemos cómo es la misma secuencia pero filmada con distintos FPS (significa frames per second, en español imágenes por segundo).

¿Qué ocurriría si cada vez tuviéramos menos FPS? Pues muy sencillo, cada vez tendríamos menos detalle en la filmación, y podríamos llegar a obtener (si lo reducimos lo suficiente) a una imagen captada en un instante. Aquí tenemos dos ejemplos:

Fotografía de fernando en Flickr. Licencia CC	Fotografía de Bent yet en Flickr. Licencia CC

En Matemáticas ocurre algo parecido con las funciones, podemos estudiar la rapidez con la que una función crece o decrece en un intervalo, y si cada vez hacemos este intervalo más pequeño, podemos llegar a saber lo que ocurre en un instante determinado.

Fotografía de nickicolleen en Flickr. Licencia CC

En el siglo XVII junto a la geometría analítica surge el cálculo infinitesimal, este consta de dos partes principales:

• El cálculo diferencial.

• El cálculo integral.

El primero aparece en relación a problemas que se venían planteando desde hacía siglos, similares a los siguientes:

• Determinación de la velocidad instantánea de un móvil en un punto de su trayectoria.

• Obtención de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.

Ambos problemas, si bien muy distintos, tienen un mismo planteamiento matemático a la hora de su resolución. Para entenderlo vamos a utilizar la siguiente animación de GeoGebra. La misma la puedes poner en marcha o parar pulsando sobre el botón que figura en la parte inferior izquierda.

 

En la animación de arriba podemos observar la gráfica espacio-tiempo que recoge la distancia que recorre un móvil en función del tiempo. Si hallamos las posiciones que ocupa el móvil en los puntos A y B, podemos determinar la velocidad media que ha llevado entre esos dos puntos a partir de la fórmula de la tasa de variación media (TVM), esta a su vez es la pendiente de la recta secante que figura en azul. Cuando activamos el botón de ejecución de la animación podemos observar que si el punto B se va acercando al punto A, los valores de la tasa de variación media van variando y se van aproximando a la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto A la cual figura en color rojo. A este valor se le conoce como tasa de variación instantánea (TVI), y constituye la velocidad instantánea del móvil en dicho punto.

Si hacemos abstracción en la animación de arriba del significado de las variables. El mismo planteamiento nos permite también hallar la recta tangente a una curva en cualquiera de sus puntos. Si activamos la animación podemos observar que a medida que el punto B se va aproximando al A, la secante (en azul), se va acercando cada vez más a la tangente (en rojo), analíticamente esto lo indica el hecho de que el valor de la tasa de variación media se va aproximando cada vez más a la pendiente de la recta tangente, la cual constituye la tasa de variación instantánea.

Tanto en el caso del móvil como en el de la recta tangente en el punto A, encontramos como denominador común que existe una magnitud h, que se va haciendo "tan pequeña como se quiera" o "infinitamente pequeña" la cual a su vez ocasiona que otra magnitud (el cociente c/h en la animación) tienda hacia un valor concreto. La determinación de este valor matemáticamente se realiza mediante una operación de obtención de un límite o dar el "paso al límite". Las expresiones: "tan pequeña como se quiera" o "infinitamente pequeña" se utilizaron durante siglos hasta que en el siglo XIX se procedió a una definición más formal y rigurosa por parte de Cauchy de ese "hacerse infinitamente pequeño".

La tasa de variación instantánea en un punto se conoce como derivada de la función en un punto. A partir de la derivada de la función en un punto podemos dar un paso más y hallar la derivada de la función para un punto genérico x cualesquiera, la expresión obtenida se le conoce como función derivada.

Por último, al alumno/a le debe quedar claro que la derivada de la función en un punto es igual al valor de la función derivada en dicho punto.

Todos estos conceptos los iremos desarrollando en los próximos apartados.