2. Potencia de exponente entero

Caso de estudio

En el punto anterior hemos visto las potencias en las que el exponente era un número natural. En este vamos a dar un paso más, aumentando el campo de los exponentes a los números enteros. Evidentemente, el paso que tenemos que hacer es el del exponente negativo, puesto que los enteros son los números enteros positivos (los naturales) y los enteros negativos. Para comprender mejor como se hace la potencia de un número entero negativo, vamos a hacer algunos ejercicios de potencia.

Calcula, directamente y utilizando las propiedades del apartado 1.1, la siguiente potencia:

Cuando hayas contestado a las dos, pincha en Mostrar información.

Seguro que ahora eres capaz de enunciar la propiedad con letras, de la misma manera que lo hicimos en el punto 1.1.

Para comprobarlo, ya sabes, pincha.

Ejercicio resuelto

Del mismo modo podemos resolver la siguiente operación con potencias:

 

Calcula, utilizando las propiedades del apartado 1.1, la siguiente potencia:

Calcula, utilizando esta vez, la definición de potencia del punto 1, la misma potencia:

 

 

 

Propiedades de las potencias de exponente entero

Las potencias de exponente entero verifican las mismas propiedades que las potencias de exponente natural. Además de éstas también verifican la propiedad vista más arriba, que resumimos en la siguiente tabla:

 

 Potencia con exponente cero  
Potencia de exponente negativo

 

Ejemplo o ejercicio resuelto


Resuelve las siguiente potencias, utilizando la propiedad anterior:

a) ; b); c) ; d)

Importante

La intención de esta propiedad es quitar las potencias que tengan un exponente negativo, no se trata de tener las potencias en el numerador o denominador, sino de quitar ese número negativo del exponente.

Hemos visto que cuando la potencia de exponente negativo está en el numerador, pasa al denominador con exponente positivo; nos preguntamos ahora, ¿qué pasará cuando la potencia de exponente negativo está en el denominador? Veámoslo.

\frac { 1}{ { 3 }^{ -2 } }

\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ 2 } } } {Utilizamos la propiedad de la potencia con exponente negativo} 

1:\frac { 1 }{ { 3 }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 1 } :\frac { 1 }{ { 3 }^{ 2 } } =\frac { 1\cdot{ 3 }^{ 2 } }{ 1 } = 3 ^{ 2 } {Hacemos la división del doble cociente; es decir, multiplicando "en cruz"} 

Podemos concluir que: \frac { 1 }{ { 3 }^{ -2 } } =3^{2}, o de forma más general que : \frac { 1 }{ { a}^{ -n } } =a^{n}