3. Optimizando... ando

Y por último, para concluir el tema, veremos una aplicación muy especial del cálculo de derivadas, como es su aplicación en la resolución de problemas de optimización, en problemas reales como por ejemplo: maximizar los beneficios de una determinada empresa o actividad económica, calcular la cantidad de alambrada mínima para cercar una superficie determinada, ...

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Un problema de optimización aparece cuando necesitamos optimizar una determinada función. Es decir, cuanto queremos calcular el máximo o el mínimo de una función atendiendo a una serie de condiciones (restricciones).
En este tipo de problemas también es posible y recomendable seguir un procedimiento ordenado que nos permita llegar a su solución.

Actividad

Para resolver los problemas de optimización recomendamos seguir los pasos que se indican en el siguiente procedimiento:

1. Recopilar los datos del problema, definir las variables, identificar las incógnitas y hacer un dibujo si fuese posible.

2. Definir y escribir la función que queremos maximizar o minimizar. 

3. Escribir las condiciones del problema. Serán ecuaciones que relacionarán las variables y los datos del problema.

4. Calcular los máximos y mínimos de la función, realizando la derivada primera, igualando a cero para obtener los puntos críticos, singulares, (donde f'=0) y comprobando el signo de la derivada segunda en estos puntos singulares.

5. Interpretar los resultados obtenidos, descartando aquellos que no cumplan las condiciones o no se adapten al contexto del problema (Ejemplo: Una longitud negativa)

Nota:  Además de todos ellos, si es posible obtener puntos de manera sencilla que permitan dibujar la gráfica de la función, aún mejor. Nos facilitará especialmente el seguimiento de los resultados que vamos obteniendo y la resolución final del problema.

Existen bastantes situaciones en el ámbito científico, en el económico, en el de la medicina, ... y otras muchas frecuentes de la vida cotidiana en las que se requieren resolver problemas de optimización.

A continuación haremos dos autoevaluaciones mostrando ejemplos de aplicación económica: un almacenista de frutas y otra de un diseñador tipográfico, ambas muy distintas pero que al fin y al cabo requieren optimizar una función:

(-) En este primer problema se necesita maximizar.

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El almacenista.
 
Imagen de Bichuas (E. Carton) con licencia CC BY-SA 2.0

Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo de fresas depende del precio de venta, de acuerdo a la siguiente función: B(x)= 2x - x2 - 0,84

siendo B(x) el beneficio por kilogramo, expresado en euros, y x el precio de cada kilogramo también en euros.

 

(a) ¿Entre qué precios por kilogramo se producen beneficios para el almacenista?

Entre y €/kg producirá beneficios. 

 

(b) ¿Qué precio por kilogramo maximiza los beneficios para éste?

€/kg

 

(c) Si tiene en el almacén 1000 kg de fresas, ¿cúal será el beneficio total máximo que podrá obtener?

€ será el beneficio máximo.

 

Nota: Deberás introducir los resultados que sean decimales, con ","

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(-) Y en este caso se requiere minimizar.

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Imagen de Pop Martian con licencia CC BY 2.0

 

Tipografía.

Queremos escribir un texto de 96 cm2 en una hoja rectangular, de tal manera que haya 2 cm de margen en cada lateral de la hoja en la que escribamos, así como 3 cm arriba y otros 3 cm abajo.

 

(a) Calcula las dimensiones de la hoja más pequeña posible

Alto: cm y Ancho: cm.

 

(b) Obtén la superficie, el área, de dicha hoja.

cm2

 

Nota: Deberás introducir los resultados que sean decimales, con ","

 

 

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A continuación se plantea un ejercicio resuelto. Como siempre, tras intentar previamente realizarlo por tu cuenta, comprueba a continuación si has obtenido la solución correcta.

La solución, se incluye en el mismo en forma de vídeo donde se muestra cómo es posible utilizar Wiris para resolver problemas de optimización. Interesante, ¿verdad?

¿Te imaginas qué ocurriría si las máquinas pudiesen resolver todos nuestros problemas?

De momento, como no es posible, nos conformaremos sólo con el siguiente ejercicio, menos es nada.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Juegos infantiles.

En el jardín de una parcela queremos delimitar una zona rectangular de juegos infantiles. Para ello, hemos adquirido 30 metros de vallas de madera. Calcula las dimensiones (largo y ancho) del recinto que queremos delimitar para que la superficie (área) de la zona de juegos sea máxima.