1.2. Yo, polinómica, y tú, racional

Apenas hemos iniciado el tema y ya has puesto en práctica una gran cantidad de conocimientos que poseías sobre las funciones y que has aplicado al ver su gráfica.

Además, hemos recogido en el cuadro-resumen del apartado anterior, un procedimiento que debes tener presente a la hora de abordar el análisis y la representación de la gráfica de cualquier función. 

Este punto lo dedicaremos única y exclusivamente a abordar la representación gráfica y el estudio de las funciones polinómicas y racionales.

 

Polynomial

Imagen de Stinging Eyes con licencia CC BY-SA 2.0

Actividad

Una función polinómica es aquella cuya expresión es un polinomio. Su expresión general es:

Ya has trabajado con funciones polinómicas a lo largo del curso:

+ Las funciones polinómicas de grado 1 son las funciones lineales (sus gráficas son líneas rectas)

+ Las funciones polinómicas de grado 2 son las funciones cuadráticas (sus gráficas son parábolas)

Todas las funciones polinómicas presentan una serie de características, atributos, comunes. Es normal, la genética, también juega su papel en entre las funciones miembros de una misma familia. Son las siguientes:

 Características comunes a todas las funciones polinómicas
  • Su dominio de definición es el conjunto de los números reales,
  • Son siempre continuas
  • No tienen asíntotas de ningún tipo.
  • Cortan al eje OX, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
  • Cortan al eje OY, en el punto (0,a0).
  • El número de máximos y mínimos relativos que tiene es, como mucho, igual al grado del polinomio menos uno.
  • El número de puntos de inflexión es, como máximo, igual al grado del polinomio menos dos.

Ejemplo o ejercicio resuelto

A continuación vamos a efectuar la representación e interpretación de la gráfica de una función polinómica con ayuda de Geogebra para poner en práctica las características de las funciones polinómicas.


AV - Actividad de Espacios en Blanco

Observa el applet de Geogebra anterior donde está representada la gráfica de la función:

 

 

y rellena los huecos en blanco, con los valores que correspondan.

 

1. El dominio de la función es

2. La función es continua en

3. Tiene asíntotas verticales y tiene asíntotas horizontales.

4. Cuando x → +∞ la gráfica de la función se acerca a (elige entre + o -) ∞

5. La gráfica corta al eje OX en puntos.

6. El máximo relativo de la función es el punto ( , )

7. El mínimo relativo de la función es el punto ( , )

8. Tiene un punto de inflexión en el punto ( , ) 

9. La función es (cóncava o convexa) en el intervalo (-∞, -0,25) 

 

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Ahora, te presentamos un ejercicio para que refuerces lo aprendido sobre funciones polinómicas.

Caso de estudio

Para practicar más.

(a) Sitúate sobre la curva de la gráfica de la función f representada en el applet de Geogebra anterior.

Pulsa el botón derecho y selecciona Propiedades del menú desplegable que aparece.

A continuación, en el campo Valor del formulario que aparece introduce la expresión: x3 + x2 - 4x - 4

Finalmente, pulsa sobre el botón Cierra.

Hecho ésto, aparecerá la gráfica de la nueva función introducida y sus valores respectivos para Extremos, Puntos de Corte y Puntos de Inflexión.

Para terminar de ajustar la gráfica a la ventana, utiliza el Zoom cuanto necesites, pulsando el botón derecho sobre cualquier lugar vacío de la ventana. También puedes mover la misma a tu antojo e incluso los rótulos que aparecen.

Si te confundes y quieres volver a empezar, basta con que hagas click en la esquina superior derecha del applet de Geogebra, sobre el icono de reset y todo volverá a estar como al principio.

 

(b) Analiza la gráfica con todos los puntos indicados en el cuadro-resumen que indicamos al principio del tema.

Actividad

Una función es racional si es el cociente de dos polinomios. Su expresión general es:

Como bien sabes, los componentes de una misma familia comparten ciertos parecidos razonables sobre todo en sus rasgos físicos, los más perceptibles a primera vista.

Pues, de igual modo que ocurre en seres vivos y que hemos visto anteriormente que sucedía con las funciones polinómicas, en el caso de las funciones racionales, su imagen, es decir, sus gráficas, también comparten ciertas características comunes. Se enumeran a continuación:

Características comunes a todas las funciones racionales
  • Su dominio de definición es el conjunto de los números reales, menos las raíces del denominador, es decir,
Dom(f) = \ { , tales que Q(x)=0}
  • Son discontinuas en los valores de x que son raíces del denominador.
  • Poseen asíntotas verticale en cada raíz del denominador que no lo sea también del numerador.
  • También pueden tener asíntotas horizontales y oblicuas.

AV - Pregunta de Selección Múltiple

Pregunta

Observa detenidamente el siguiente vídeo sobre representación e interpretación de funciones racionales con Wiris y selecciona la/s opciones correcta/s a cada una de las cuestiones.

Todas las cuestiones son relativas a la función representada en el vídeo,

 

Es una función racional

Respuestas

Verdadero.

No lo sabemos.

Falso, porque es una función a trozos.

Retroalimentación

Pregunta

La función tiene:

Respuestas

2 asíntotas horizontales

1 asíntota horizontal en y=4

1 asíntota horizontal en y=1

Retroalimentación

Pregunta

La función tiene:

Respuestas

Sólo una asíntota vertical. Concretamente, en x=-4.

Una asíntota vertical en x=-4.

No tiene asíntotas verticales.

Una asíntota vertical en x=4.

Retroalimentación

Pregunta

La función es creciente en:

Respuestas

La función no es creciente ni decreciente.

Retroalimentación

Actividad de Espacios en Blanco

Pulsa en este enlace donde accederás a una ventana de Wiris y siguiendo los 3 pasos indicados en el procedimiento descrito en el vídeo anterior representa la función:

Finalmente, rellena las huecos en blanco.

1. El dominio de f, es \ { , }

2. f tiene discontinuidades de salto

3. Elige entre cóncava/convexa en la siguiente frase y completa el intervalo: f es en y es en (- ,+ )

4. f tiene un relativo en x=0

5. Elige entre creciente/decreciente y completa el intervalo: f es en ( ,3)

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Pre-conocimiento

Antes de continuar con el tema, ¿por qué no nos pegamos frente al espejo unos buenos movimientos de baile practicando con la gráfica de algunas de las funciones más conocidas? ¿Te animas?

Funciones 'Bailonas' en MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13,...

Objetivos

En este enlace a la página Vitutor, puedes ampliar tus conocimientos con distintos

Ejercicios resueltos de representación de funciones.