4.1. Teorema del Resto
Para obtener el resto de la división de un polinomio entre un binomio no es necesario realizar la división, ya que podemos utilizar el siguiente teorema.
Importante
Teorema del Resto
El resto de la divisíon del polinomio P(x) y el binomio (x-a), es el valor numérico del polinomio para x=a.
Veamos un ejemplo.
Si queremos obtener el resto de la división (x3-2x2+4) y x-2, calculamos el valor numérico de (x3-2x2+4) para x=2, es decir (23-2·22+4) = 8-8+4 = 4. El resto de la división indicada es 4.
Ten cuidado si el binomio por el que se divide es de la forma x+a, ya que el valor numérico lo debes obtener para x = -a
Ejercicio resuelto
Determina el resto de la división (x4-3x3-5x2-x-1) : (x+1)
Ejercicio resuelto
Determina el valor de k para que el resto de la división de los polinomios x2 - kx + 4 y x-3 sea 1
Importante
El polinomio P(x) es divisible por x-a, si x=a es una raiz de P(x) o solución de P(x) = 0
Ejercicio resuelto
Calcula k para que x3 - 2x2 + kx + 8 sea divisible por x-2
Para saber más
Demostración del Teorema del Resto
Si dividimos el polinomio P(x) entre el binomio (x-a), obtenemos un cociente C(x) y un resto R. Si utilizamos la propiedad de la división que indica que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, obtenemos
P(x) = (x-a)·C(x) + R
Vamos a utilizar el valor numérico para x=a en esta expresión, obteniendo P(a) = (a-a)·C(a) + R = 0·C(a)+R = R, por lo que P(a) = R