3.1. Definición de probabilidad. Axiomática de Kolmogorov

En 1933, el matemático ruso Andrey Kolmogorov presentó una definición de probabilidad que se basaba en el cumplimiento de una serie de axiomas, y que permanece vigente hasta nuestros días.

En matemáticas, llamaremos axioma a un resultado que no necesita demostración y a partir del cual se desarrolla una teoría o se definen otros términos.

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad
 Imagen en Wikimedia Commons. Licencia CC

 

Importante

Para cada suceso A, perteneciente a un espacio muestral E, se define la probabilidad de A, simbolizada por P(A),  como un número que cumple los siguientes axiomas:

1. La probabilidad de cualquier suceso, es siempre mayor o igual que cero: P(A)≥0

2. La probabilidad del espacio muestral es 1: P(E)=1

3. Si tenemos un conjunto de sucesos incompatibles entre sí, entonces la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades. En el caso conjuntos de dos y tres sucesos se expresaría así:

Si tenemos dos sucesos A, B incompatibles  (A∩B=Ø) entonces se cumple que P(AUB)= P(A)+ P(B)

Si tenemos tres sucesos A, B, C, incompatibles dos a dos (A∩B=Ø, A∩C=Ø,B∩C=Ø) entonces se cumple que P(AUBUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)

Por lo tanto la probabilidad de un suceso será un número comprendido entre 0 y 1 que mide la mayor o menor posibilidad de que ocurra dicho suceso. Cuanto más cerca de 1 es más probable que ocurra, cuanto más cerca de 0 más difícil.

Como consecuencia de las anteriores axiomas se tienen las siguientes propiedades:

  1. La probabilidad de un suceso es siempre un número comprendido entre 0 y 1. La probabilidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0, es decir, P(E)=1, P()=0.
  2. La suma de las probabilidades de los sucesos elementales vale 1.
  3. La suma de un suceso y de su suceso contrario vale 1: P(A) +P() = 1 como consecuencia P()=1-P(A)
  4. (esta propiedad para calcular probabilidad del contrario o complementario)
  5. La probabilidad de un suceso es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que lo forman.
  6. P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B). Si los sucesos son incompatibles, como su intersección es el suceso imposible cuya probabilidad es cero, la fórmula anterior se reduce a la expresión: P(AUB)=P(A)+P(B)

 Vamos a ver su aplicación en el siguiente ejercicio.

 

Caso práctico

Jorge es un bromista y a veces lleva un dado trucado para quedarse con sus amigos que intentan jugar con él sin saber que les hace trampas. Las probabilidades que tiene ese dado de sacar las caras del 1 al 5 son las siguientes:   P(1) = 0,15 ;   P(2) = 0,20 ;   P(3) = 0,10 ;   P(4) = 0,15 ;   P(5) = 0,20.

  1. ¿Cuál sería la probabilidad de obtener un 6 con ese dado?
  2. Si lanzamos el dado, ¿qué probabilidad hay de obtener un número par?
  3. ¿Y de obtener un múltiplo de 3?

Comprueba lo aprendido

El otro día encontró Jorge en una tienda de magia un dado trucado con la característica de que las caras con números pares tenían el triple de probabilidad de salir que las de caras impares.
  1. En ese tipo de dado la probabilidad de obtener un 2 es y la de obtener un 3 es .
  2. La probabilidad de obtener un número primo es .


Pista para resolverlo: Llama p a la probabilidad de cada número impar [P(1)=P(3)=P(5)=p] y entonces la probabilidad de obtener cada par será 3p [P(2)=P(4)=P(6)=3p]. Suma todas las probabilidades, iguala la suma a 1 y halla p, y con ello cada probabilidad.

Escribe la probabilidad con dos cifras decimales y señala la parte decimal con ",".

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Para saber más

En el siguiente vídeo, podemos ver ejemplos y algo de teoría relacionada con la probabilidad de la unión de dos sucesos:

                                                                                                                

Probabilidad de la unión de sucesos
 Vídeo de lasmatematicas.es alojado en Youtube

Caso práctico

Extraemos una carta de una baraja, halla la probabilidad de obtener una carta:

  1. De copas o bastos.
  2. De oros o figura.

Comprueba lo aprendido

Tenemos dos sucesos de un experimento aleatorio.


1. Si conocemos que , la probabilidad de la unión sería igual a .

2. Si ahora conocemos los datos ; la probabilidad del suceso A sería P(A)= .

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    A veces, en lugar de conocer directamente las probabilidades de los sucesos A o B, conocemos los de sus contrarios, por ello es interesante recordar que A y B son dos sucesos , en este caso compatibles, que forman parte de un espacio muestral más general.

    En las siguientes imágenes aparecen representados; el suceso contrario de A, el suceso contrario de B y el suceso contrario de la unión de A con B:

    Imagen de elaboración propia
     

    Caso práctico

    En una ciudad las personas que leen el periódico El País representan el 25% de la población, los que leen El Mundo son el 17% y hay un 68% de la población que no lee ninguno de los dos periódicos.

    ¿Qué porcentaje lee ambos periódicos?
    Ten presente que si un suceso tiene un porcentaje del 25% equivale a decir que su probabilidad es 0,25.

    Reflexiona

    En un grupo de amigos, el 45% son aficionados al teatro, el 22% son aficionados al teatro y al cine y a un 15% no le gusta ninguna de las dos cosas. Si elegimos uno de los amigos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el cine?

    Comprueba lo aprendido

    Para practicar

    Para acabar esta parte, realiza una serie de ejercicios elaborados por María José García Cebrianpara el proyecto ed@d. Mira primero los ejemplos que aparecen resueltos y pulsa después en el botón para hacer los ejercicios.

    Ejercicios de probabilidad