2.1. Espacio muestral y sucesos

Siempre que nos encontramos en una situación que depende del azar, ya hemos dicho que antes de realizarla no podemos saber a ciencia cierta qué resultado vamos a obtener, pero siempre tiene que estar entre un conjunto de valores que sí podemos saber. Por ejemplo, antes de empezar la liga no podemos saber quién va a ganar en Primera división (aunque luego casi siempre se lo reparten entre el Real Madrid y el F.C. Barcelona, con permiso del Sevilla o el Valencia) pero es seguro que el ganador tiene que ser uno de los equipos que juegan en esa división. Jamás podría ganar la liga en Primera División el Alcorcón (aunque no le faltaran méritos).

De la misma manera, si vamos a trabajar en algún vehículo, público o privado, no sabemos seguro cuanto vamos a tardar, ya que depende de la densidad del tráfico, de si ocurre algún imprevisto (accidente, corte por manifestación, obras que aparecen de improviso), del estado del tiempo, pero es evidente que siempre estará dentro de un conjunto de valores, es decir, si lo normal es que tardemos una hora en llegar, es imposible que en una ocasión tardemos 10 minutos o en otra tres días. Vamos a estudiar en este apartado los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Importante

Se llama suceso elemental a cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Recibe el nombre de espacio muestral el conjunto formado por todos los resultados de un experimento aleatorio, es decir, por todos los sucesos elementales

Se llama suceso compuesto, o simplemente suceso, a cualquier subconjunto del espacio muestral, es decir, a un grupo de sucesos elementales.

Se llama suceso seguro aquel que se cumple siempre. Está formado por todos los resultados posibles, por ello coincide con el espacio muestral. Se llama suceso imposible al que no ocurre nunca, es decir, no está formado por ninguna solución del espacio muestral. Suele representarse por el símbolo   que representa al conjunto vacío.

Ejemplo: 

Supongamos un partido de fútbol y los puntos que puede obtener un equipo. El espacio muestral sería E={0, 1, 3}. Cada uno de esos puntos sería una de los sucesos elementales. Un suceso podría ser A={obtener puntos}, que estaría formado por las posibilidades de obtener 1 ó 3 puntos, es decir, A={1,3}. Si consideramos el suceso obtener menos de 5 puntos, eso sería un suceso seguro, ya que cualquiera de los resultados lo cumple. Por último, el suceso obtener dos puntos en el partido sería un suceso imposible.

Puedes ver otros ejemplos de los conceptos anteriores en el siguiente vídeo:


Vídeo de Tuto mate alojado en Youtube

Importante

Los sucesos suelen denotarse con letras mayúsculas, dando prioridad a aquellas que estén relacionadas con la propia definición del suceso. Por ejemplo, si hablamos del suceso "Sacar un número par", podemos denotarlo por P. Los sucesos los podemos representar utilizando diagramas de Venn :
(En este diagrama A y B son dos sucesos, y el rectángulo E representa el espacio muestral). 

Diagrama de VennDiagrama de Venn
Imagen de elaboración propia

Reflexiona

Si lanzamos un dado de seis caras podemos obtener un número que sea: 

1) impar            3) un 1 ó un 4 5) mayor que 7  7) un cuatro   9) par
2) menor que 3  4) menor que 10  6) un cinco 8) múltiplo de 3  10) distinto de 5

¿Alguno de los anteriores sucesos son elementales? En caso afirmativo indica cuáles.

Comprueba lo aprendido

En este enlace, correspondiente al proyecto ed@d, puedes ver ejemplos de experimentos aleatorios, junto con su espacio muestral y algunos sucesos. En la siguiente escena puedes hacer un ejercicio para diferenciar experimentos y escribir sus espacios muestrales.

Actividad de María José García Cebrian en Proyecto Descartes. Licencia CC

Reflexiona

Consideramos el experimento de lanzar un dado de seis caras, bien construido, con los números del 1 al 6 en sus caras y fijarnos en el valor que sale.

a) ¿Cuál sería el espacio muestral?

b) ¿Cuál sería el suceso obtener número primo?

c) ¿Y el suceso obtener múltiplo de 3?

d) Escribe el suceso obtener un número de una cifra.

e) ¿Quién sería el suceso obtener 10?

Importante

Dos sucesos se llaman compatibles si pueden suceder a la vez, es decir, hay algún suceso elemental que corresponda a los dos sucesos. En caso contrario, cuando no pueden darse a la vez, se llaman incompatibles.

Por ejemplo, es incompatible en un partido de fútbol el suceso de que el equipo que juega en casa gane con el suceso de que el mismo equipo pierda. Pero si es compatible que el equipo que juega en casa no gane con el suceso de que no pierda, pues estos dos sucesos incluyen el suceso común empatar dentro de sus conjuntos.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

1) El suceso de que mañana no haga sol y el suceso de que no llueva son sucesos:

Sugerencia

Piensa si hay algún tipo de tiempo que se pueda dar en ambos casos.

Respuestas

a) Compatibles

b) Incompatibles

Retroalimentación

Pregunta

2) Al extraer una bola de una bolsa donde hay bolas rojas, verdes y blancas el extraer una bola roja o el extraer una bola blanca son sucesos:

Sugerencia

Piensa si hay resultados comunes a ambos sucesos

Respuestas

a) Compatibles

b) Incompatibles

Retroalimentación

Pregunta

3) Que el número ganador de la lotería del próximo sorteo termine en 5 o que el número que gane el sorteo sea múltiplo de 3.

Sugerencia

¿Hay algún número que pueda salir y que cumpla ambas cosas?

Respuestas

a) Compatibles

b) Incompatibles

Retroalimentación