4. Continuidad de una función. Discontinuidades

Fotografía de Daquella manera en Flickr. Licencia CC

Si recuerdas del primer tema de la unidad, dijimos que una función era continua si no tenía ninguna interrupción; si se podía dibujar de un trazo sin levantar el lápiz del papel. Esto es una visión global de la continuidad, pero cuando no hay continuidad es porque esta propiedad falla en un determinado lugar. ¿Y qué será lo que falla?

Ha llegado el momento de juntar límite y continuidad y de ver la continuidad de una función pero sin necesidad ya de tener que ver la gráfica por delante.

En este video puedes apreciar la idea de función continua. Como hemos indicado anteriormente, simplemente diremos que es continua si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel. En este video puedes visualizar esta explicación.

Idea intuituitiva función continua

Vídeo alojado en Youtube

Gráficamente, es muy sencillo determinar si una función es continua, ahora veremos cómo determinar si una función dada analíticamente es continua.

Importante

Teniendo en cuenta lo que acabamos de ver, una función es continua en x = a si:

Existe f(a).
Los dos límites laterales existen, son números reales y coinciden.
El valor del límite coincide con el de la imagen.

Esas tres propiedades se resumen en:

En general, todas las funciones elementales, las que has visto en el tema anterior, son continuas en sus respectivos dominios de definición.

Veamos un caso concreto del estudio de una función definida a trozos y analicemos la continuidad de la función

La función para x< 0 es continua ya que estamos ante una raiz cuadrada de un radicando siempre positivo (x² + 4 siempre es positivo) por lo que siempre existe el resultado de dicha raiz. Si x>0 nos encontramos antes un polinomio, por lo que es continua en todo el intervalo. Tan solo debemos comprobar si la función es continua en 0

Por lo tanto la función es continua en todos los números reales.

Caso de estudio

Estudia la continuidad de la función

Ejemplo o ejercicio resuelto

Fotografía en Flickr. Licencia CC

En este ejercicio, vamos a ver cómo estudiar la continuidad de una función a trozos sin necesidad de ver su representación gráfica. ¿Recuerdas el ejemplo de los sueldos de los camareros de la caseta que vimos en el apartado 2?

Teníamos que la función que le daba a Nacho el dinero a pagar a cada camarero de la caseta según las horas que trabajaba era:

¿Será esa una función continua?

Retroalimentación

En primer lugar, como los trozos que forman la función son polinomios, no tenemos ningún problema, la función va a ser continua en todos los puntos del dominio salvo a lo mejor en el punto donde se está cortando la función, o sea, en x=8.

Bueno, pues para resolver esta cuestión, simplemente lo que tenemos es que seguir los tres pasos que hemos visto en x=8. Si se cumple será continua y si no, basta ver la condición que falla para indicar el tipo de discontinuidad.

1. Existe f(8). Tenemos que ver cuanto gana un camarero que trabaja exactamente 8 horas. Como el igual a 8 está en el segundo trozo, sustituimos ahí:

f(8)=20·8 + 50 = 160 + 50 = 210

2. Calculamos los límites laterales, es decir, el dinero que gana un camarero si trabaja un poquito menos de las 8 horas y lo que gana si trabaja un poco más:

3. Comparar los tres resultados. En este caso, como no son iguales la función no es continua en x=8. Además, la condición que falla es que los dos límites laterales no coinciden, por tanto, en x=8 hay una discontinuidad de salto finito.

AV - Reflexión

La función f(t) que mostramos a continuación muestra el beneficio de la empresa EXRED (en cientos de miles de euros) a lo largo de los diez primeros años tras su fundación. La función donde t expresa el tiempo en años es:

¿Es continuo el crecimiento de los beneficios de la empresa?

Ejemplo o ejercicio resuelto

SEPTIEMBRE 2011. ANDALUCÍA

Sea la función real de variable real:

(a) (1’5 puntos) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a.

(b) (1 punto) Para a = 1, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.

Nota: Sólo no podemos realizar el estudio sobre la derivabilidad del apartado (a). Para ello tendrás que esperar a próximos temas.

Ejemplo o ejercicio resuelto

JUNIO 2009. ANDALUCÍA

Sea la función real de variable real:

a) (1 punto) Represente gráficamente la función.

b) (1 punto) Estudie la continuidad de la función.

c) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función.

Nota: El apartado c) requiere de lo que se impartirá en los próximos temas. Sin embargo, los apartados a) y b) sí puedes afrontarlos con lo aprendido hasta ahora.

Retroalimentación

a) Tenemos que representar una función definida a trozos. En ambos trozos se trata de líneas rectas, por lo que para representarlas nos basta con conocer dos puntos por los que pasa.

Si x<1, le damos a x el valor cero, y así obtenemos el punto de corte con el eje OY: f(0) = 0 +1 = 1, pasa por el punto (0, 1). El otro valor es conveniente darlo en el punto donde la función cambia de expresión, en este caso cuando x = 1. En la recta -x+1, si x=1 la ordenada saldría -1+1=0, por lo que la recta llega hasta "casi" el punto (1, 0). Decimos casi porque el valor que tendrá la función en x=1 será el que le corresponda por la expresión de .

Para los valores de , el primer valor adecuado sería precisamente x=1, en cuyo caso la función vale: f(1)=1-1=0, por lo que la semirrecta empieza en el punto (1, 0). Otro punto adecuado si sería x = 2 (aunque puedes elegir cualquier valor mayor que uno) y obtenemos f(2) = 2 - 1 = 1, por lo que la semirrecta pasa por el punto (2, 1).

La representación gráfica queda por tanto:

b) Si x < 1, f(x) = -x+1, que es una función polinómica y es continua y derivable en todo R, en particular en x<1. Si x > 1, f(x) = x-1, que es una función polinómica y es continua y derivable en todo R, en particular en x>1.

Para saber más

En este vídeo te mostramos cómo calcular una incógnita o dos dentro de una función a partir de la idea de que la función tiene que ser continua. Este ejercicio es de los clásicos de selectividad, así que si estás pensando en ello, debes verlo y entenderlo:

Continuidad. Ejercicio con parámetros

Vídeo alojado en Youtube

Si quieres hacer algunos ejercicios de este estilo, en esta presentación encontrarás varios.

Actividad

Una discontinuidad se dice evitable en x= a si existe el límite de la función en el punto y es finito, pero no coincide con el valor f(a) o no existe dicho valor.

La discontinuidad se llama de tipo evitable, ya que podemos evitar la discontinuidad si definimos

Veamos un caso concreto, la función definida como

Esta función, para el valor x = 0, verifica que f(0) = 1 tal y como hemos definido la función, sin embargo, . Por lo tanto , la función presenta una discontinuidad evitable tal y como podemos ver en su representación, ya que si definimos f(0) = 0, la función sería continua.

Actividad

Una función presenta una discontinuidad en x= a de salto o de primera especie si existen los límites laterales y son distintos o al menos uno de ellos es infinito.

Se dirá que la discontinuidad es de salto finito si los límites laterales son finitos y de salto infinito si al menos uno de ellos es infinito.

Imagen en Wikimedia Commons
creada por Omegatron.
Dominio Público

Un ejemplo muy visual de función con una discuntinuidad de primera especie en x= 0 y en particular de salto infinito es , ya que al estudiar los límites laterales en el punto x= 0 obtenemos

Si tomamos la función f(x) = Ent(x), es decir la parte de entera de un número detectamos que dicha función tiene una discontinuidad de 1º especie, de salto finito en los números enteros. Estudiemos, por ejemplo, la discontinuidad en x= 1

Actividad

Una función f(x) presenta una discontinuidad de segunda especie en el punto x= a si no existen uno de los límites laterales

Imagen en Wikimedia Commons. Dominio Público

Algunos funciones no están definidas para ciertos valores, de hecho, ya vimos que la función solo existe para los puntos de su dominio.

Si analizamos la función , el dominio de esta función son los reales positivos incluido el cero. Al estudiar las discontinuidades de dicha función, podemos observar que el límite por la izquierda en x= 0 no existe, por lo que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en x =0 . Al calcular el límite por la derecha, observamos que