4.1 Movimiento orbital

Supongamos que un satélite, natural o artificial, de masa m describe una trayectoria circular de radio r alrededor de un planeta de masa M.

Ya sabemos que este movimiento es fruto de la fuerza gravitatoria. Esta corresponde a la fuerza centrípeta que actúa sobre el satélite.

Igualando las expresiones ya conocidas:

F_g=F_c

\[G\frac{M\cdot m}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\]

Despejando, se obtiene la expresión que permite la determinación de la velocidad orbital del satélite que, como puedes ver, es independiente de la masa de este:

\[v=\sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}\]

Caso práctico

Un satélite de 250 kg de masa, está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Calcula su velocidad orbital.

El período de revolución de un satélite es el tiempo que tarda este en describir una órbita alrededor del planeta. Se representa por T y tiene unidades de tiempo.

Se determina sabiendo que la velocidad orbital será la relación entre la longitud de la circunferencia descrita y el tiempo invertido (T), por ello:

\[T=\frac{2\pi r}{v}\]

Caso práctico

La distancia entre Marte y el Sol en 1,53 veces la distancia entre la Tierra y el Sol. Suponiendo que ambos planetas llevan movimiento circular uniforme, calcula la duración del "año" marciano.

Retroalimentación

En este caso, la fuerza centrípeta es la atracción gravitatoria que ejerce el Sol sobre los planetas. Como debes determinar el tiempo que le cuesta a Marte dar una vuelta alrededor del Sol (el "año" marciano), tienes que calcular el periodo de giro T.

Para la Tierra, indicando la distancia de giro como R (d=R):

Anulando la masa de la Tierra en ambos lados y agrupando términos, resulta:

El mismo planteamiento se realiza en Marte, y la única diferencia es que se indica el radio de giro de Marte y se calcula el periodo de revolución de Marte. Por tanto:

Si divides miembro a miembro la segunda expresión por la primera verás que se anulan los cocientes de ambas expresiones, con lo que:

Como el periodo de rotación de la Tierra es de 1 año, el de Marte es de 1,89 años.

Un satélite es geoestacionario cuando se mueve al mismo ritmo que la Tierra, describiendo una vuelta en 24 horas. Tendrá por tanto un período de revolución igual al período de rotación de la Tierra.

Es por ello que un satélite geoestacionario parece que no se mueve, desde la superficie de la Tierra se ve siempre en la misma posición.

Reflexiona

Visualiza el vídeo siguiente. Se trata de determinar a qué distancia sobre la superficie de la Tierra debe girar el satélite para ser geoestacionario; es decir, para que siempre se encuentre sobre el mismo punto de la Tierra. Esta es la situación de los satélites de comunicaciones.

Una vez vista la distancia, resuelve el problema analíticamente, igualando la fuerza centrípeta a la gravitatoria de atracción del satélite por la Tierra, y comprueba si el resultado es el mismo.

Grabación de animación de Flash Learning alojado en Youtube

Retroalimentación

El periodo de rotación debe ser de 24 horas, con lo que está a 35900 km sobre la superficie de la Tierra. Como su radio es de 6370 km, el radio de giro del satélite será de 42270 km.

Pero hay que demostrarlo aplicando las leyes de la Física. ¿Cuál es la fuerza centrípeta en este caso?: la atracción gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el satélite, que da una vuelta completa en 24 horas alrededor de la Tierra.

Siendo G la constante de gravitación universal (6,67.10^-11 en unidades del Sistema Internacional), M la masa de la Tierra (5,98·10²⁴ kg), m la masa del satélite, ω su velocidad angular y T su periodo (24h x 3600 s/h = 86400 s), tenemos que:

\[G\frac{Mm}{R^2}=m\omega ^2R=m\left ( \frac{2\pi }{T} \right )^2R\]

Despejando y sustituyendo, se tiene que:

R=\sqrt[3]{\frac {GM} {\omega^2}}=42250 km

Como el radio de la Tierra es de 6370 km, el satélite debe girar a (42250-6370) km; es decir, a 35880 km de altura. Como puedes ver, la coincidencia de resultados es prácticamente total.