Descripción de la tarea

Ana y Pedro están en la misma clase. Su profesor, para repasar los contenidos de la semana, les pone todos los viernes un cuestionario tipo test con tres preguntas y cinco respuestas posibles en cada una que deben contestar en una plantilla como la siguiente.

Imagen de elaboración propia

Ana siempre consigue acertar la mayoría de las preguntas, pero Pedro casi nunca consigue aprobar. Entre ellos acuerdan un método para que Ana le pase las respuestas a su amigo Pedro en una nota de forma que nadie sospeche que son las respuestas del test si encuentran el papel. Para ello, inventan una matriz de codificación de 3x3 que solo ellos conocen, a la que llamaremos C y que es de la siguiente forma:

donde m es un valor cualquiera, distinto en cada ocasión para mayor seguridad, que lo decide Ana sobre la marcha cada viernes y que Pedro desconoce.

El código que han inventado funciona así: Las tres respuestas correctas se ponen ordenadas en forma de matriz columna que llamaremos R. Multiplicamos C·R y resulta otra matriz columna a la que llamaremos R'. Los elementos de la matriz R' son los que Ana le pasa a Pedro. Pero aún le faltaría un dato para que Pedro pueda deshacer el código: el valor de m. Por tanto, Ana le pasa a Pedro cuatro valores. Los tres primeros son los de la matriz R' y el cuarto valor es m.

Por ejemplo, si las respuestas correctas son 2 - 5 - 3 y Ana decide tomar m=2, haría lo siguiente:

Y le pasaría una nota a Pedro con los números 8 / 16 / 11 / 2, en ese orden, con los valores de R' y m. 

Pedro recibe un viernes la nota de Ana con el siguiente código: 10 / 2 / -2 / -1. Sabiendo cómo funciona su código secreto, vamos a ayudar a Pedro a descifrar las respuestas correctas a partir de los mensajes que le manda Ana contestando a las siguientes cuestiones:

1) A la vista del mensaje de Ana, escribe la matriz de codificación C que ha utilizado ese viernes y la matriz R' que ha obtenido Ana antes de mandarle el mensaje.

2) Escribe una ecuación matricial con C, R y R' que represente la situación descrita y despeja la matriz R de las respuestas del cuestionario (no calcules R todavía, solo despéjala).

3) Utiliza la herramienta Matrix Calculator para calcular R con las operaciones obtenidas en el apartado 2). Consulta la presentación que hay en la ayuda de esta tarea si no sabes cómo hacerlo. ¿Sabes ya cuáles son las respuestas del cuestionario? Haz una captura de pantalla con la resolución e insértala en el lugar correspondiente de la plantilla. Escribe también cuáles serían las respuestas del cuestionario.

4) Plantea ahora la misma situación con un sistema de ecuaciones.

5) Resuelve el sistema con Matrix Calculator por el método que prefieras y comprueba que la solución es la misma que utilizando ecuaciones matriciales. Consulta la presentación que hay en la ayuda de esta tarea si no sabes cómo hacerlo. Haz una captura de pantalla con la resolución e insértala en el lugar correspondiente de la plantilla.

6) ¿Hay algún valor de m que no se pueda utilizar? Discute primero el sistema anterior por el teorema de Rouché-Frobenius y, en función de esto, contesta a la pregunta. En este apartado debes hacer todos los cálculos a mano aunque puedes ayudarte de Matrix Calculator solo para hacer comprobaciones.

• Para su entrega, el cuestionario se nombrará de la siguiente forma:

        Apellido1_Apellido2_Nombre_MT2_Tarea_1_2 (Sin tildes)

   donde Apellido1, Apellido2 y Nombre se sustituirán, respectivamente, por el primer apellido, segundo apellido y nombre del alumno.

• El cuestionario debe presentarse utilizando la siguiente plantilla.