1.1. Ecuaciones con dos incógnitas
El siguiente titular apareció en el diario SPORT.es el día 3 de abril de 2010.
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| Fuente: SPORT.es Fecha: 03/04/2010 |
Si traducimos al lenguaje algebraico la frase del subtítulo: "entre los dos delanteros han marcado 40 goles", al haber dos objetos (en este caso dos jugadores), y dos cantidades asociadas a ellos, "número de goles que ha marcado cada uno",necesitamos dos incógnitas.
Por tanto, si llamamos:
x: Número de goles que ha marcado Messi
La frase anterior ya traducida, quedaría de la siguiente forma: x + y = 40, que es una ecuación (igualdad entre dos miembros) con dos incógnitas (letras). ¿Has visto que no es tan complicado?
Actividad
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Su expresión general tiene la siguiente forma: ax + by = c, donde x e y son las incógnitas de la ecuación y a, b y c son números.
a y b son los coeficientes y c es el término independiente de la ecuación.
En el caso anterior x+y=40, a=1, b=1 y c=40.
Las soluciones de la ecuación son pares de números que al sustituirlos en la ecuación por (x, y), hacen que ambos miembros valgan lo mismo (se alcance el equilibrio).
AV - Pregunta de Elección Múltiple
Solución
Solución
Solución
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Para saber si una pareja de números es solución de una ecuación lineal con dos incógnitas, basta con sustituir en la ecuación cada número por la letra correspondiente y comprobar si se cumple o no la igualdad numérica.
Acabamos de ver, que los pares (12, 28), (20, 20) y (25, 15) son soluciones de la ecuación x + y = 40. Estos pares de puntos, además de cumplir la ecuación tienen sentido en el contexto de la situación que planteamos, es decir, pueden ser los goles marcados por Messi e Ibrahimovic respectivamente.
Pero hay otros pares de puntos que también cumplen la igualdad x + y = 40. Por ejemplo (-5, 45) ó (30,5; 9,5) suman 40, pero no tienen sentido como goles marcados en un partido.
Nos planteamos entonce ¿cuántos pares de puntos pueden ser solución de la ecuación lineal x + y = 40?
En la imagen de la derecha hemos representado en uno ejes coordenados los pares de puntos que hemos visto que son solución de x +y = 40. Para ello, el valor de la x lo hemos colocado en el eje OX, y el de la y en el eje OY.
A la vista de la imagen, ¿qué otros pares de puntos pueden ser solución de nuestra ecuación?
Actividad
Dada una ecuación lineal con dos incógnitas, ax + by = c, siempre se cumple:
1. Que sus soluciones, pares de valores (x,y), representan puntos del plano que están alineados, es decir, están situados sobre la misma recta.
2. Como una recta tiene infinitos puntos, una ecuación lineal con dos incógnitas también tiene infinitas soluciones.
AV - Pregunta Verdadero-Falso
"A estas alturas de la temporada el Real Madrid es el equipo más goleador de la Liga con 6 goles más que el F.C. Barcelona, que ocupa la segunda posición en la clasificación de equipos goleadores."
Retroalimentación
Verdadero
Retroalimentación
Falso
No es cierto. Veamos por qué.
Sabemos que la relación entre los goles marcados por ambos equipos viene dada por la ecuación: x = y + 6 , donde x: nº goles marcados por el Real Madrid e y: nº goles marcados por el F.C. Barcelona.
Si fuera cierto, entonces, la pareja: (x,y)=(80,73) sería una solución de la ecuación.
Pero, si sustituimos en la ecuación vemos que no la satisfacen, porque: 80 = 73 + 6, 80 = 79, que no es cierto.
Retroalimentación
Falso
No es cierto. Veamos por qué.
Sabemos que la relación entre los goles marcados por ambos equipos viene dada por la ecuación: x = y + 6 , donde x: nº goles marcados por el Real Madrid e y: nº goles marcados por el F.C. Barcelona.
En este caso, la pareja: (x,y)=(79,73) si que es una solución de la ecuación. Podemos decir que es una combinación goleadora posible, pero, con los datos que disponemos, no podemos afirmar con toda seguridad que esta sea la única combinación posible.
Ésto es debido a que una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.