4.1. Polinomios y factorización: valor numérico de un polinomio. Operaciones con polinomios

Actividad

El valor numérico de un polinomio P(x) para el valor x = a es el resultado de sustituir la variable x por el valor a y efectuar las operaciones. Se representa por P(a).

Una vez que ya conoces el valor numérico de un polinomio, veremos las operaciones con polinomios. Al igual que operas con números naturales, enteros o reales, podemos trabajar con polinomios, sumando, restado, multiplicando y dividiendo estos. 

Actividad

  • Suma y Resta de Polinomios

Para sumar o restar polinomios, tan solo debemos operar con los monomios que tengan la misma parte literal, recordando que la parte literal es la variable con su exponente.

Si pretendemos calcular la suma de los polinomios P(x) = x2-4x+4 y Q(x) = 3x2+5x-3, simplemente sumamos los coeficientes de las partes literales P(x)+Q(x) = (1+3)x2+(-4+5)x+(4-3) = 4x2+x+1.

También podemos colocar en vertical los sumandos y realizar la operación

 

Para restar polinomios, actuamos de forma análoga, podemos restar los coeficientes de las partes literales o simplemente colocarlos de forma vertical y operar.

Si M(x) = x3-3x+5 y N(x) = 2x3-x2+4x-2 , el resultado de la resta es M(x)-N(x) = (1-2)x3+(0-(-1))x2+(-3-4)x+(5-(-2))=-x3+x2-7x+7. También podemos operar de forma vertical

 

Actividad

  • Multiplicación de polinomios

Al multiplicar un monomio por un polinomio, tan solo debemos aplicar la propiedad distributiva.

Para multiplicar un monomio por un polinomio:

3x^2 \cdot (x^2-2x+5) = 3x^4-6x^3+15x^2

Si queremnos multiplicar dos polinomios, aplicaremos reiteradamente la propiedad distribuitiva.

(3x^2+2x+1) \cdot (x^2-3)= 3x^2 \cdot (x^2-3)+2x \cdot (x^2-3)+1 \cdot (x^2-3) = 3x^4-9x^2+2x^3-6x+x^2-3=3x^4+2x^3-8x^2-3

Importante

  • División de monomios

Dividimos los coeficientes y las partes literales.

  • División de un polinomio entre un monomio

Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.

Ejemplo:

  • División de monomios
3x^5 \div 2x^2= \frac{3x^5}{2x^2}= \frac{3}{2}x^3
  • División de un polinomio entre un monomio
(3x4-2x3+3x)\div3x = \frac{3x4-2x3+3x}{3x} = x^3-\frac{2}{3}x^2+1

Importante

  • División de un polinomio  entre un polinomio
    1. Ordenamos los polinomios según las potencias y de mayor a menor
    2. Se dividen los primeros términos del dividendo y del divisor
    3. El resultado obtenido se multiplica por el divisor y se resta al dividendo
    4. Seguimos este procedimiento hasta que el resto sea de un grado menor que el divisor.

Ejemplo: