4.2. Expresión decimal y potencias de exponente negativo

Señal de tráfico con decimales
Fotografía en Flickr por Leo Reynolds bajo CC

Números decimales.

Anteriormente se ha mencionado la dificultad que los hombres de la antigüedad mostraban para operar con los números racionales... Sumar números racionales bajo el ropaje de las fracciones requiere mucho más tiempo que el que se emplea en sumar números naturales en el sistema decimal. Y esta es la herramienta que a partir de ahora vuelve a entrar en escena: el sistema decimal.

Las fracciones surgían al dividir la unidad en partes iguales, mitades, tercios... pero si tal división se hace en el sistema decimal es lógico dividir la unidad en 10 partes iguales, “décimas”, y estas a su vez en otras 10 partes iguales, “centésimas”... Nacen así las nuevas subunidades del sistema decimal: décimas (1/10), centésimas (1/100), milésimas (1/1000), diezmilésimas (1/10000)…

En la actualidad es frecuente, sobre todo en economía y estadística, medir las variaciones, incrementos o decrementos relativos, en centésimas o tanto por ciento (%). Así se dice que de los alumnos de la clase han aprobado el 82 %, que es otra forma de afirmar que el cociente entre los alumnos aprobados y el total de la clase es 0,82. Es como si de las subunidades decimales se hubieran tomado únicamente las centésimas y todas las razones o proporciones se expresaran en centésimas. Es frecuente que dependiendo del campo del conocimiento al que se apliquen los números se vistan de distintas formas.

Anteriormente se ha mencionado la regla graduada de los números naturales. Dicha regla puede transformarse en una similar: la de las potencias de 10.

 


Imagen de elaboración propia

 

Imagen en Wikipedia bajo CC

 

 

El número decimal 123’56 podría, pues, considerarse una escritura en clave de:

La particularidad del número 10 obliga a plantearse la siguiente cuestión: ¿Pueden todos los números racionales expresarse en el sistema decimal? La respuesta es no. Números racionales tan sencillos como ⅓ no son expresables en el sistema decimal. Los matemáticos para soslayar esta dificultad hablan de expresiones decimales infinitas, y utilizan los números periódicos.

Potencias de exponente entero.

Aprovechando la tesitura, si recuerdas en el apartado dos nos planteábamos qué ocurriría si el exponente de una potencia fuera un número entero negativo, ya te habrás hecho una idea con la introducción que te hemos dado con el sistema de numeración decimal, pero en general las potencias de exponente negativo se definen como:

     

Pregunta Verdadero-Falso

Comprueba la certeza o falsedad de las siguiente afirmaciones:

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Paso de decimal a fracción y viceversa.

Para pasar de fracción a decimal solo hay que efectuar la división entre numerador y denominador. El cociente puede ser:

  • Un número entero.
  • Un número decimal exacto.
  • Un número decimal periódico puro. Las cifras decimales forman un grupo llamado periodo que se repite indefinidamente.
  • Un número decimal periódico mixto. Existe un primer grupo de cifras decimales que no se repiten de forma periódica, pero a partir de una de ellas se forma un periodo como en el caso anterior que se repite indefinidamente.

Esto nos permite operar con ellos como si de números enteros se trataran. A continuación, puedes practicar las operaciones con números decimales pulsando en la siguiente imagen:

Operaciones con decimales

 

Caso de estudio

Marcos ha sacado dinero de su cuenta corriente utilizando la tarjeta de crédito, en un cajero automático. Ha sacado 120 €, pero ha perdido el comprobante de la operación y no puede saber el saldo que tiene. Mirando el comprobante de la última vez que usó la tarjeta observa que tenía 904,21 €. Después le han ingresado la nómina del mes, de 1339,56 € y ha pagado de esa cuenta los recibos de la luz cuyo importe ha sido de 53,21 €, del alquiler del piso, por un valor de 320,80 € y la letra del coche, de 207,95 €.
  1. ¿Qué saldo indicaba el comprobante que ha perdido Marcos?
  1. Al llegar a su casa Marcos encuentra el aviso de cobro de dos domiciliaciones: agua, 32,67 € y seguro del coche, 437,45 €. Con el dinero que le quede después de esos pagos quiere hacer 3 partes iguales, una para comprar un ordenador que cuesta 380 €, otra para libros y música y la tercera para sus gastos. ¿Podrá comprarse el ordenador?

Caso práctico

Curso 2013/2014

Calcule: 

Hemos aprendido a pasar de fracción a decimal, pero... ¿qué ocurre con la operación inversa? Los números decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos se pueden convertir en fracciones.

En el siguiente enlace tienes actividades con las que puedes aprender a transformar decimales en fracciones, es decir, hallar la fracción generatriz. Además, para que no te quedes con dudas puedes ver los siguientes vídeos:


Decimal exacto

 Decimal periódico puro

Decimal periódico mixto

 

AV - Pregunta de Elección Múltiple

Pregunta

La fracción generatriz de es:

Respuestas

Retroalimentación

Actividad

Todo número que pueda ponerse en forma de fracción se dice que es un número racional.
Esto nos permite pensar en lo siguiente... ¿existen números decimales que no pueden expresarse en forma de fracción? Y ya que estamos, ¿qué ocurre con las potencias con exponente un número racional? Las respuestas a estas preguntas puedes encontrarlas en el siguiente tema.