3.1. Operaciones, ordenación y representación

Enteros: una ampliación de los naturales. Comparación y ordenación.

Los números enteros pueden considerarse la segunda etapa de ese viaje alucinante que ha comenzado con los números naturales. Entran en escena cuando hay un antes y un después, un arriba y abajo, derecha e izquierda, haber y deber...

Velocímetro de un coche
Fotografía en Flickr por Andrea bajo CC

Al graduar la recta con los números naturales adoptábamos un origen y una unidad. Los números naturales hacían su aparición al llevar la unidad en el mismo sentido a partir del origen. Pero ¿qué ocurre si el sentido se invierte? Hacen su aparición los números enteros negativos, simétricos u opuestos de sus hermanos, los números naturales, ahora también llamados números enteros positivos.

Ordenación de los enteros
Imagen de elaboración propia

Con los números enteros introducimos dos operaciones nuevas, que condicionarán el uso de las que ya conocíamos: el valor absoluto y el opuesto.

 Imagen de elaboración propia

 

Imagen de elaboración propia

El valor absoluto y el opuesto son operaciones unarias, pues sólo necesitan un operador (|| o -) y un único operando.

Aunque con la representación en la recta real, ya te habrás hecho una idea de que mayor es un número cuanto más a la derecha esté situado, esto se puede resumir en un lenguaje más formal de la siguiente manera:

  • De dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto: +13 > +3.
  • Cualquier número entero positivo es mayor que cero: +11 > 0.
  • Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo: +3 > -15.
  • El cero es mayor que cualquier número entero negativo: 0 > -11.
  • De dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto: -8 > -25.

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

Pregunta 1

  1. El valor absoluto de un número entero y de su opuesto coinciden.

Pregunta 2

  1. El valor absoluto de un número entero puede ser negativo.

Pregunta 3

  1. El opuesto de un número se puede esquematizar por la siguiente representación:

 

Opuesto de un número
Imagen de elaboración propia

 

Operaciones con números enteros

Aunque el valor absoluto y el opuesto también son operaciones, este apartado lo dedicaremos a las operaciones "clásicas" (por clásicas no nos referimos a más antiguas, pero sí seguro que a las que más recuerdas).

Además las primeras operaciones pueden ampliar la definición de las operaciones suma y producto al conjunto de los números enteros.

En el caso de la suma de dos números enteros distinguimos dos casos:

  • Que ambos números tengan el mismo signo. En este caso el signo del resultado es el signo común de los sumandos. El valor absoluto del resultado es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
  • Que los números a sumar tienen distinto signo, el resultado adopta el signo del sumando de mayor valor absoluto. El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto de los sumandos y el menor.

La operación resta o diferencia entre números enteros se puede entender como un caso particular de la suma: a-b=a+(-b), a,b son números enteros.

Manipulando el siguiente applet de Geogebra, podrás entender mejor esta casuística:

A continuación, te ofrecemos tres vídeos de operaciones con números enteros, con y sin paréntesis. Es importante que cuides la forma de operar, sé metódico y ordenado.

Importante

Nunca pueden aparecer dos signos (operaciones) seguidos. Tienen que estar separados por paréntesis, corchetes...

El producto de dos números enteros se obtiene ateniéndose a las reglas:

  • El valor absoluto del resultado es el producto de los valores absolutos.
  • El signo se obtiene mediante la regla del producto de los signos:
 Regla de los signos
Imagen en INTEF
de Antonio Ortega bajo CC

 

Las operaciones con números enteros cumplen las mismas reglas que las operaciones con números naturales.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Realiza las siguientes operaciones combinadas de números enteros:

  1.   -3·[(2-1-7)-8]

  2.   2·(-8-4+12)-3·[7-(-2+1)]

Aprovecha y comprueba los resultados con la calculadora.

Recuerda la jerarquía de las operaciones.

Las potencias. ¿Una nueva operación?

Al igual que la multiplicación es la suma de varias veces de un mismo número, la potenciación es el producto resultante de multiplicar una o varias veces ese número.

Las potencias se representan donde es el número que se multiplica (base) y el número de veces que se hace el producto (exponente).

Así por ejemplo, .

Sus propiedades son muy prácticas a la hora de simplificar cálculos:

 

Propiedades de las potencias

 

 

Ejemplo o ejercicio resuelto

Calcula las siguientes potencias:
  1.  



  4.  

  5.  

 

Caso de estudio

Ejercicio 2.

Resuelve las siguientes potencias, aplicando las propiedades estudiadas en el tema:

a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

Actividad

Si observas detenidamente el ejemplo anterior podemos sacar algunas conclusiones:

  1. Si el signo está dentro del paréntesis, formará parte de la base y por consiguiente se repetirá tantas veces como nos indica el exponente.
  2. Si el signo está fuera del paréntesis, no forma parte de la base y por consiguiente se añadirá al resultado de la potencia.
  3. Si la base es positiva, el resultado será positivo.
  4. Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado será positivo.
  5. Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado será negativo.
Estamos en números enteros, hemos hablado de potencias con base positiva y negativa, y exponentes positivos. Pero... ¿qué ocurre con los exponentes negativos? ¿No existen potencias con exponentes negativos? La respuesta es sí, pero tendrás que descubrirlas en el tercer apartado.