1.6 Masa relativista
Recuerda la expresión matemática de la segunda ley de Newton:
Esta expresión nos dice que la aceleración de un cuerpo depende directamente de la fuerza resultante que actúe sobre él. De esta forma, si aplicáramos una fuerza indefinidamente sobre un cuerpo este iría aumentando su velocidad también de forma indefinida.
Pero la teoría especial de la relatividad nos dice que esto no funciona así, hay una velocidad que no puede sobrepasarse. ¿Resulta entonces que expresión matemática de la 2ª ley de Newton no es aplicable a todas las situaciones?
La solución la mostró Einstein al deducir que la masa de un cuerpo depende de su velocidad según la fórmula:
donde m0 es la masa medida en reposo y m la masa medida a la velocidad v.
Cuando la velocidad es pequeña en relación con la velocidad de la luz, la fórmula anterior desemboca en que m≈m0 . Esta es la razón por la que podemos pasar por alto esta corrección relativista en nuestra experiencia diaria. Sin embargo, cuando la velocidad se aproxima a la de la luz, el cociente v2/c2 se va aproximando a 1 y, consecuentemente, el denominador es cada vez menor y la masa se hace cada vez mayor. En el límite, cuando v se aproxima a c, la masa se acerca a un valor infinito.
Caso práctico
Una partícula de 1 mg de masa en reposo es acelerada hasta una velocidad v=0.6c, siendo c la velocidad de la luz en el vacío. Determine la masa de la partícula cuando se mueve a la velocidad v.
c=3·108 m/s
Equivalencia masa-energía
Vamos a utilizar la expresión relativista de la energía cinética (su demostración está más abajo, en el apartado "Para saber más"):
Observa la igualdad. El primer miembro representa una energía, así que cada uno de los términos del segundo miembro también deben representar una energía:
- El término m0c2 es la energía asociada al cuerpo en reposo. Se llama energía en reposo o energía propia
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Imagen de Nightflyer en Wikimedia Commons
no sujeto a copyright
- El término mc2 es la energía relativista total
Seguro que no es la primera vez que ves esta fórmula. Se trata de la expresión matemática que relaciona la masa de un cuerpo con su energía equivalente. Esta ecuación ilustra el principio de equivalencia entre masa y energía.
Objetivos
A partir de la expresión relativista de la masa podemos obtener la energía cinética que adquiere un cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza resultante.
La deducción de esta expresión requiere que hagamos algunas operaciones matemáticas. Te sugerimos que le eches un vistazo al desarrollo matemático y, sobre todo, le prestes atención al resultado final.
En primer lugar vamos a sustituir la constante γ por un valor aproximado que se obtiene de desarrollar en serie la expresión de γ. El resultado es válido para velocidades mucho menores que c, que es el caso de nuestra experiencia cotidiana.
Con este nuevo valor de γ obtenemos otra expresión para la masa relativista
Multiplicamos por c2 la expresión anterior
Finalmente obtenemos la energía cinética, para velocidades pequeñas comparadas con c.
Como ves, Δm representa la diferencia entre la masa en movimiento y la masa en reposo.
Caso práctico
Calcula la energía que ha sido necesario suministrarle a la partícula del ejercicio anterior (masa en reposo=1 mg) para que alcance la velocidad de 0.6c
c=3·108 m/s