2.2. Mediatriz de un segmento

En la siguiente presentación se te muestra como en la geometría clásica se calcula la mediatriz de un segmento, al pulsar en la pantalla irás pasando de una diapositiva a otra.

Fuente propia bajo Dominio público

Si no puedes ver la anterior presentación puedes acceder a la siguiente página.

Importante

Dado un segmento delimitado por dos puntos: A y B, del plano, llamamos mediatriz de dicho segmento a la recta perpendicular al mismo cuyos puntos P(x,y) equidistan de los extremos, es decir; se cumple la siguiente condición:

$\begin{array}{c} \begin{verbatim}d\end{verbatim} (P,A) = \begin{verbatim}d\end{verbatim} (P,B) \\ P(x,y), \ A(x_1,y_1), \ B(x_2,y_2) \\ \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} = \sqrt{(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2} \end{array}$

En la siguiente escena de geogebra puedes variar los puntos A y B y ver cómo va cambiando la mediatriz del segmento que une a ambos así como la ecuación de la misma. El punto P que forma parte de la mediatriz, también lo puedes mover a lo largo de la misma y comprobar que las distancias a los extremos del segmento (puntos A y B) se mantienen constantes.

Fuente propia bajo Dominio público

A la hora de resolver un problema de este tipo se procede de la siguiente forma:

Caso de estudio

Dados los puntos $A(-10,10) \begin{verbatim} y \end{verbatim} B(10,0)$ halla la mediatriz del segmento formado por estos.

Caso de estudio

Dados los puntos $A(-5,5) \begin{verbatim} y \end{verbatim} B(10,10)$ halla la mediatriz del segmento formado por estos.

Los siguientes ejercicios son de ampliación e incluyen la aplicación de conceptos vistos en apartados y temas anteriores.

Caso de estudio

Considera la recta r de ecuación y=3x-4 y los puntos: $A(2,6) \begin{verbatim} y \end{verbatim} B(0,0)$ .

Prueba que la recta que pasa por los puntos A y B es paralela a r.

Halla el área de un triángulo ABC sabiendo que el punto C está situado sobre la recta r.

Retroalimentación

Cuestión 1.

Prueba que la recta que pasa por los puntos A y B es paralela a r.

Aplicamos la ecuación punto-pendiente de la recta (vista en temas anteriores) para hallar la ecuación de la recta que pasa por A(x₀,y₀) y b(x₁,y₁)

$\begin{array}{rcl} A(x_0,y_0) & \ & B(x_1,y_1) \\ y-y_ 0& =& m(x-x_0) \\ m & = & \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \end{array}$

Para nuestro caso concreto

$\begin{array}{c} A(2,6) \ B(0,0) \\ m=\frac{0-6}{0-2}=3 \\ y-6=3(x-2) \end{array}$

Por lo que la ecuación es y=3x

Como y=3x-4 y y=3x tienen la misma pendiente, m=3 , eso quiere decir que ambas rectas son paralelas.

Cuestión 2.

Halla el área de un triángulo ABC sabiendo que el punto C está situado sobre la recta r.

La siguiente imagen ilustra el planteamiento de este apartado del problema.

Fuente propia realizada con geogebra bajo Dominio público

Podemos observar que independientemente de donde situemos el punto C, la altura del triángulo formado por los puntos ABC va a ser la misma, e igual a la distancia del punto C a la recta que pasa por A y B.

Sabiendo que el área de un triángulo es base por altura dividiva entre dos, vamos a proceder de la siguiente forma:

$\begin{array}{rcl} \begin{verbatim}Area\end{verbatim}$\overset{\bigtriangleup}{ABC}$& = & \frac{b \cdot h}{2} \\ b & = & \begin{verbatim}d\end{verbatim}(A,B) \\ h & = & \begin{verbatim}d\end{verbatim}(C,r) \\ r & \equiv & y=3x\ \end{array}$

Determinamos un punto C cualquiera en la recta y=3x-4, (no es necesario que sea el que figura en la imagen de arriba), por ejemplo el de coordenada x=0.

Calculamos la distancia entre A y B

$d(A,B)=\sqrt{\left(0-2\right)^2+\left(0-6\right)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} \begin{verbatim} unidades\end{verbatim}$

Como la ecuación en formageneral de la recta y=3x es 3x-y=0, la distancia de C a r viene dada por:

$\begin{verbatim}d\end{verbatim}(C,r)= \left|\frac{3\cdot0+4}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}\right|= \left|\frac4{\sqrt{10}}\right| =\frac{4\sqrt{10}}{10} \ \begin{verbatim} unidades\end{verbatim}$

Por tanto el área del triángulo de vértices A, B, C es:

$\begin{verbatim}Area\end{verbatim}$\overset{\bigtriangleup}{ABC}$ = \frac{b \cdot h}{2} =\frac{2\sqrt{10}\cdot\displaystyle\frac{4\sqrt{10}}{10}}2=\frac{8}{2}=4 \begin{verbatim}u\end{verbatim}^2$

Caso de estudio

Dado el triángulo de vértices los puntos del plano A(-3,0), B(3,3) y C(-1,5).

Encuentra la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C.

Encuentra la mediatriz del segmento de extremos A y B.

Retroalimentación

Cuestión 1.

Encuentra la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C.

En primer lugar vamos a hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-3,0) \begin{verbatim} y \end{verbatim} B(3,3)$ .

$m=\frac{3-0}{3-(-3)} =\frac{3}{6} =\frac{1}{2}$

La recta buscada es paralela al lado AB, por tanto, tiene la misma pendiente $m=\frac{1}{2}$ . Como además pasa por C, vamos a utilizar la ecuación punto-pendiente de la recta

$C(-1,5), \ m=\frac{1}{2} \\ \begin{array}{rcl} y-5 & = & \frac{1}{2} (x-(-1)) \\ y-5 & = & \frac{1}{2} (x+1) \\ y & = & \frac{1}{2}x + \frac{11}{2} \end{array}$

Cuestión 2.

Encuentra la mediatriz del segmento de extremos A y B.

A la hora de plantear el problema tenemos que expresar algebraicamente la propiedad que cumplen los puntos de la mediatriz de un segmento.

Si lo aplicamos a nuestro caso A(-3,0), B(3,3)

$\begin{array}{rcl} \left( \sqrt{(x+3)^2 + y^2} \right)^2 & = & \left(\ \sqrt{(x-3)^2 + (y-3)^2} \right)^2 \\ (x+3)^2 + y^2 & = & (x-3)^2 + (y-3)^2 \\ x^2+9+6x +y^2 & = & x^2+9-6x + y^2 +9 - 6y \\ 12x + 6y - 9 & = & 0 \end{array}$

Por tanto la ecuación general de la recta pedida es 12+6y-9=0 o simplificando sus coeficientes 4x+2y-3=0

La siguiente imagen ilustra el problema resuelto.

Fuente propia realizada con geogebra bajo Dominio público