2.2. Asíntotas de una función

El siguiente punto importante del estudio de funciones para lograr su representación son las asíntotas. Te recordamos un poco qué son. En el siguiente vídeo te mostramos qué son las asíntotas.

Asíntotas. Conceptos básicos.
Vídeo alojado en Youtube

Ejemplo o ejercicio resuelto

Consideramos la siguiente función racional:

Perseguimos realizar la representación gráficamente esta función. Para ello, en esta ocasión te pedimos que estudies las asíntotas de la misma.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Andrés ha localizado ahora los cuatro folios correspondientes al estudio sobre las asíntotas de cada función. Recuerda que las funciones que Ángela había investigado eran:

Ayuda a Ándrés a identificar la función a la que corresponde cada uno de los folios. Para ello completa los espacios en blanco que aparecen seguidamente.

.- En el primer folio aparece que la función no tiene ninguna asíntota vertical ni oblicua, pero tiene una horizontal cuya ecuación es . Así, este folio pertenece a la función .

.- En el siguiente folio indica que la función tiene una asíntota vertical de ecuación y una asíntota oblicua de ecuación . Por tanto este folio corresponde a la función .

.- El tercer folio indica que la función tiene una asíntota vertical de ecuación x= y una oblicua de ecuación y= x-5, por lo que este folio corresponde a la función .

.- El último folio corresponde a la función f3 ya que indica que tiene una asíntota vertical de ecuación x= y una oblicua de ecuación y= x+ .

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Bodega
Fotografía de Paco Calvino en Flickr. Licencia CC
Con todo lo que estaba leyendo y aprendiendo Martín últimamente, sobre todo gracias a los libros que le enviaba su amiga Alba, empezó a plantearse en serio lo de montar una bodega.
Antes tenía que hacer un examen para poder pedir los permisos para montarla.
Buscó tiempo donde no lo había, pero él tenía que aprobar y su amiga Alba le había dicho que para superar el examen, tenía que estudiar más de 15 horas.
Martín le preguntó que cómo sabía ella eso y Alba le dijo que existía una función a trozos, formada por una función lineal y una función racional que lo afirmaba.
Por curiosidad, Martín le preguntó que cuál era esa función y que si estudiando muchas horas podía sacar más de un 10.
Alba le dijo que la función era:
, siendo x el número de horas dedicadas a la preparación del examen, y que era imposible sacar más de un 10.
Con todo lo que llevas estudiado, seguro que eres capaz de explicarle a Martín porque no puede sacar más de un 10 y que necesita más de 15 horas de preparación para poder aprobar.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Explícale a Martín por qué si estudia menos de 15 horas no llegará al 5 y que nunca sacará más de un 10.

Para ello, representa y analízala para encontrar la explicación.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Una vez aprobado el examen, Martín pide ayuda a Alba para saber cuánto dinero tiene que invertir en la empresa "Bodega La Alfonsita", a partir de qué año la empresa dejará de tener pérdidas y si en el transcurso del tiempo sus beneficios habrá un momento que no crecerán más.

Alba le dice que hay una función que a veces sirve y otras veces no, pero que para hacerse una idea puede utilizarla.

La función representa los beneficios de una empresa en miles de euros, donde x representa los años de vida de la empresa cuando x>0.

Esta función racional viene dada por la expresión:

 

 

Ahora te toca a ti ayudarle a Martín, para ello completa los espacios en blanco.

a) El dominio de B(x) para cualquier valor de x es todo R menos x= . (Si el valor es una fracción, escríbelo en forma decimal utilizando la coma decimal).

b) La gráfica de la función corta al eje X en el punto ( , ).

c) La gráfica de la función corta al eje Y en el punto ( , ).

d) La función tiene una asíntota vertical en .

e) La función tiene una asíntota horizontal en .

f) Respecto al crecimiento y decrecimiento, la función siempre es en todo su dominio, ya que la primera derivada es .

 

Con todos estos datos, ya puedes decirle a Martín que tiene que hacer una inversión de mil euros, que a partir del año dejará de tener pérdidas y que los beneficios con el transcurso del tiempo no sobrepasarán los mil euros.

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Objetivos

Para ver el comportamiento de una función racional, modifica los valores de a, b, c, d, e, f y g en la siguiente escena de Geogebra creada por José María Vázquez de la Torrre.

Applet alojado en GeoGebra. Licencia CC

Para saber más

En este tema hemos visto como se representan las funciones polinómicas y racionales, pero hay muchas más. En este enlace puedes practicar con algunas funciones como estas y otras más.

En la página que se muestra tienes una serie de funciones y si vas pulsando sobre los números vas a ir viendo los distintos ejercicios resueltos.