2.4. Simetrías. Asíntotas

Si queremos analizar una función y su gráfica, nos podemos encontrar situaciones en las que no es necesario estudiar  todo el dominio de  una función, simplemente estudiamos la mitad de su dominio. Es un ahorro considerable de esfuerzo!.  

En este video puedes apreciar la idea intuitiva de simetría

Estudiemos desde dos puntos de vista la paridad de una función, desde la perspectiva gráfica y analítica.

GRAFICAMENTE

Estudiaremos si "doblando" el plano cartesiano por el eje Y, las gráfica coinciden. Veamos el caso f(x) = x²-4

Visualmente, podemos decir que la función es par, ya que al "plegar" el plano, coincidirian  las gráficas. La pregunta que nos podemos hacer es "¿realmente coinciden?"

Para asegurarno que es par, utilizaremos el método analítico

ANALITICAMENTE

Para comprobar si la función es par, aplicaremos la definción de paridad, es decir f(x) = f(-x)

Para ello, usustituimos en la función x por -x yapreciamos si la nueva función coincide con la incial

f(-x) = (-x)²-4 = (-1)²(x)²-4 = 1x²-4=x²-4. Esta función coincide con la inicial, por lo que f(-x) = f(x) y afirmaremos que la función es par.

CONCLUSIONES

A la hora de representar una función par, tan solo estudiaremos los valores mayores que 0 , ya que la representación para los valores menores coincidirá con la anterior.

De forma análoga al caso de las funciones pares, estudiaremos la funciones impares.

Graficamente

Las funciones impares serán aquellas funciones que al girarlas 180º respecto del origen de coordenadas, coinciden con la original.

La representación de la función f(x) = x³-x es la siguiente

Apreciamos que si giramos la gráfica 180º coincide con la original. Otra interpretación de las funciones impares es que si "doblamos" el plano por el eje Y y posteriormente por el eje X, la gráfica coincide.

Analiticamente

Al igual que en el caso de la paridad, con el analisis gráfico podemos tener una idea si es impar la función, pero el único método fiable, es la aplicación de la definición. Veamos si f(x) = -f(-x)

Calculemos en primer lugar f(-x)

f(-x) = (-x)³-(-x) = (-1)³(x)³-(-x) =-x³+x

Determinamos ahora -f(-x)

-f(-x) = - (-x³+x) = x³-x 

Coincide f(x) con -f(-x), por lo que podemos decir que f(x) es imar.

 A veces pasa que la función se aleja y se aleja hasta irse al infinito. Si recuerdas, algo de esto vimos ya el curso pasado, pero si no te acuerdas, no te preocupes que ahora y en el siguiente tema lo vamos a repasar. Aunque en el tema siguiente profundizaremos en este concepto, vamos a exponer unas ideas generales para poder determinar las asíntotas de una funcion a la vista de su gráfica.

Asíntota vertical

Hay casos en los que al acercarnos a un valor de "x", la función va tomando valores más y más grandes. Esta es la idea de asíntota vertical, una recta vertical de forma que cuando x se acerca a ese punto, la función se va pegando a esa recta.

Sea la función cuya gráfica se muestra

A la vista de la gráfica podemos afirmar que la función tiene una asíntota vertical en x = 3 ya que amedida que los valores de la variable independiente se aproximan a este valor , los valores de la variable dependiente "se disparan" hacia el infinito.

Fotografía de bibigeek en Flickr. Licencia CC

Asíntota horizontal

También puede ocurrir lo contrario, o sea, que a medida que nos alejemos en el valor de X, el valor de la función se vaya acercando a uno concreto. Esto ocurre con frecuencia en el ámbito de las ciencias sociales cuando un determinado proceso se estabiliza (ya no puede crecer más) o en la biología cuando una determinada población se estabiliza. La relación entre presas y predadores llega al punto en el que la población en una determinada región ni crece ni disminuye.

Siguiendo con la función anterior aparentemente todo queda en una asíntota vertical, pero est funcion posee también una asíntota horizontal en y=1 como podemos ver con más detalle en la siguiente imagen: