2.2. Monotonía. Máximos y mínimos. Curvatura

Ignacio, el gerente de una caseta de feria, se marchó con los nietos a la montaña rusa. Mientras tanto, nos quedamos hablando con su mujer, que nos comentaba que las subidas y bajadas que había en la montaña rusa eran muy grandes, pero que este año aún eran mayores las subidas de precios en las bebidas y raciones de comida que servían en la caseta, a pesar de que cada vez el nivel adquisitivo era menor ya que cada vez había más personas desempleadas.

Como recordarás las funciones también presentan subidas y bajadas. La monotonía de una función (crecimiento y el decrecimiento) es algo que ya hemos estudiado antes. Básicamente una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, x, también aumenta el valor de la función, f(x). Es decreciente, si al aumentar el valor de x, disminuye el de f(x). No olvides que las gráficas se "leen" de izquierda a derecha.

Estudiar la monotonía de una función, quiere decir, indicar los intervalos donde la función crece, decrece o es constante. Veamos un caso particular, la función x².

Si analizamos graficamente la función, podemos indicar que la función decrece desde , es decir, que tal como aumenta la variable x en dicho intervalo, la variable y cada vez es menor. Sin embargo en el intervalo ,tal como crece la variable x, la variable y, crece por lo que la función es creciente.

Podemos concluir que el estudio de la monotonía de la función es el siguiente, la función x² decrece en   y crece en 

 Tenemos que hacer hincapié en que los valores donde crece o decrece la función tenemos que darlos siempre referidos al eje X.

No sé si alguna vez habéis estado en una atracción de feria de las de caída libre, donde se alcanza el punto máximo de altura, pero la verdad es que impresiona.

En este apartado veremos como las funciones se comportan de forma parecida a las atracciones y cuando subimos hasta un punto determinado y comenzamos a bajar, decimos en matemáticas que estamos en un máximo, que puede ser relativo, si durante el trayecto nos encontramos otros puntos máximos mayores, o absoluto si es el mayor de todos.

Lo mismo ocurre cuando bajamos y comenzamos a subir, entonces hablamos de mínimos relativos y mínimos absolutos.

En la gráfica anterior veíamos claramente como la función tenía un máximo relativo en (-1,2) y un mínimo relativo en (1,-2).

Y como te habrás dado cuenta, los llamamos relativos ya que existen valores mayores y menores que ellos en la gráfica.

Por último, para ir acabando este acto, veremos otro atributo, característica, de interés a la hora de estudiar las funciones. Es aquella que se refiere a la curvatura. Este aspecto se centra en estudiar los intervalos en los que la gráfica adopta una posición de curva hacia abajo (concavidad) o hacia arriba (convexidad) y los puntos, si existen, en que la gráfica pasa de una postura a la otra.