1.1. Variación media y variación instantánea

Fotografía en Flickr por Guillermo Puglia bajo CC

Tasa de variación media

Imagínate que este viaje por las funciones lo hacemos en tren. En este medio de locomoción no tenemos la oportunidad de mirar el velocímetro como en un coche para saber a qué velocidad nos desplazamos. Pero si la curiosidad nos inunda podemos acudir a un simple cálculo, hacer el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo que hemos tardado en recorrerlo, de esta forma, obtendremos la velocidad media entre dos instantes del viaje.

Esta velocidad media, nos permite comparar la variable dependiente (el espacio) y la variable independiente (el tiempo), es decir, nos podemos hacer una idea de si el vehículo circula rápido o lento en un determinado periodo de tiempo.

En el siguiente vídeo de juanmemol puedes ver un ejemplo resuelto del cálculo de la tasa de variación media de la función en el intervalo [-2,1]:

Observa la siguiente escena de Geogebra. En ella puedes ver el cálculo de la tasa de variación media de dos puntos cualesquiera (solo tienes que manipular los puntos verdes) y la relación que guarda con la recta secante a la curva en esos dos puntos.

Con frecuencia las variaciones medias en intervalos grandes son poco interesantes. Por ejemplo cuando la guardia civil de tráfico o un radar intenta medir la velocidad de un coche en un determinado punto de la carretera de nada serviría la velocidad media a lo largo de todo el recorrido. Intuitivamente sabemos que la velocidad es un concepto local, puntual y las medias nos proporcionan aproximaciones al mismo, que a veces pueden rayar en el absurdo. Si aplicamos el concepto de variación media a un vehículo que saliera de un determinado punto y volviera al mismo, deberíamos concluir que su velocidad media es 0 (comprueba qué ocurre en la escena anterior cuando y coinciden).

Fotografía en Flickr por brewbooks bajo CC

Tasa de variación instantánea o variación media centrada en un punto

¿Qué hace un radar en la carretera para calcular la velocidad de un vehículo? Toma dos fotografías en intervalo de tiempo reducido y a partir de ellas calcula la velocidad media que ha de ser bastante aproximada a la velocidad que llevaba el vehículo en cualquier instante intermedio. Algo similar se hace en matemáticas para calcular la tasa de variación de una función en un determinado instante. Se centra la consideración en dicho instante y se introducen pequeñas variaciones a partir del mismo.

Si ahora volvemos a las funciones y, teniendo en cuenta que es mayor que , se puede expresar como , donde sería un número real y positivo, y de esta forma la tasa de variación media se podría expresar con la siguiente fórmula:

 

 

Si se aproxima a cero, el punto se aproximará al punto y la tasa de variación media tenderá entonces a un valor que denominamos tasa de variación instantánea de la función en el punto . Que si hablamos en términos de velocidad, sería justo la que marca el velocímetro de nuestro coche en un determinado momento.