Descripción de la tarea

Desarrollo

En cada una de las cuestiones planteadas debes justificar adecuadamente tu respuesta con los cálculos y razonamientos que estimes necesarios.

Ejercicio 1

Dados los vectores $\vec { { v }_{ 1 } } \quad =\quad (-1,\quad 2,\quad 5),\quad \quad \vec { { v }_{ 2 } } \quad =\quad (4,\quad -2,\quad 0)\quad \quad y\quad \quad \vec { { v }_{ 3 } } \quad =\quad (0,\quad 1,\quad 3)\quad$ se pide:

a) ¿Forman una base de ${ \Re }^{ 3 }$ ? ¿Por qué?

b) Realiza las siguientes operaciones:

b.1) $2\vec { { v }_{ 1 } } \quad -\quad (\vec { { v }_{ 3 } } -\vec { { v }_{ 2 } } )\quad$

b.2) $\vec { { v }_{ 1 } } \quad \cdot \quad \vec { { v }_{ 3 } }$

b.3) $\\ \vec { { v }_{ 3 } } \quad \times \quad \vec { { v }_{ 2 } }$

b.4) $\\ \left[ \vec { { v }_{ 1 } } ,\quad \vec { { v }_{ 2 } } ,\quad \vec { { v }_{ 3 } } \right]$

Ejercicio 2

Dados los puntos A(-1, 0, 2) y B(5, 2, -4) se considera la recta r que pasa por ambos. Se pide:

a) Halla un vector director de r.

b) Obtén la ecuación vectorial, paramétrica, continua e implícita (o general) de r.

c) Estudia la posición relativa de la recta r con la recta s, cuya ecuación continua es:

$s\quad \equiv \quad \frac { x }{ -3 } \quad =\quad y-2\quad =\quad \frac { z+1 }{ 3 }$

Ejercicio 3

Dados el punto P(-1, 0, 2) y los vectores $\vec { v } \quad =\quad (1,\quad 0,\quad -4)$ y $\vec { w } \quad =\quad (2,\quad -5,\quad 1)$ se pide:

a) Halla la ecuación vectorial, paramétrica e implícita (o general) del plano $\pi$ que forman.

b) Comprueba si los puntos A(-1, 0, 2) y B(3, 1, -1) pertenecen o no al plano $\pi$ .

c) Estudia la posición relativa del plano $\pi$ con el plano $\sigma$ cuya ecuación es $\sigma \quad \equiv \quad 2x-y+3z+1=0$ .

Ejercicio 4

Estudia las posiciones relativas de los siguientes elementos geométricos:

a) La recta r y el plano $\pi$ de ecuaciones:

$r\quad \equiv \quad \left\{ \begin{matrix} x=3t \\ y=-2+t \\ z=1 \end{matrix} \right \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \pi \quad \equiv \quad x-2y+z+1=0$

b) Los planos $\pi ,\quad \sigma \quad y\quad \tau$ de ecuaciones:

$\pi \quad \equiv \quad x+y-2z=0,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \sigma \quad \equiv \quad 2x-y+1=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad y\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \tau \quad \equiv \quad 7x-8y+6z+5=0$

Ejercicio 5

Calcula el ángulo que forman las rectas r y s, siendo sus ecuaciones las siguientes:

$r\quad \equiv \quad \frac { x-1 }{ 2 } =\frac { y+2 }{ 3 } =z\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad s\quad \equiv \quad \left\{ \begin{matrix} x=-2 \\ y=1+2t \\ z=t \end{matrix} \right$

Modo de envío

Para su entrega, el cuestionario se nombrará de la siguiente forma:

Apellido1_Apellido2_Nombre_MT2_Practica_2_1 (Sin tildes)

donde Apellido1, Apellido2 y Nombre se sustituirán, respectivamente, por el primer apellido, segundo apellido y nombre del alumno.

El cuestionario debe presentarse utilizando la siguiente plantilla.