2.1. Derivada en un punto. Función derivada

Luna
Fotografía en Flickr por taivasalla bajo CC

 

 

Derivada en un punto

Como has visto en el vídeo anterior, el comportamiento estable de la variación media en el entorno de un punto permite definir “la tasa de variación instantánea” o lo que en lenguaje matemático se denomina derivada de la función en un punto.

Importante

Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota por . Así, según la definición tenemos que:

 

 

Recuerda que para que exista este límite, deben existir los límites laterales y coincidir. Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como:

  • Derivada por la derecha:
 
  • Derivada por la izquierda:

En el caso de que ambos límites coincidan diremos que la función es derivable en el punto .

Haciendo un simple cambio de variable la derivada de en un punto   podemos expresarla también de la siguiente forma:

 


 

Importante

Estudiar la derivabilidad de una función en consiste en averiguar si la función es derivable en ese punto.

Caso de estudio

Logotipo

 

Curso 2010/2011

(Continuación)

Estudie si la siguiente función es derivable en :


Interpretación geométrica de la derivada

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto, ya que las rectas secantes en el entorno de un punto tienden a confundirse con la recta tangente en el punto a medida que los incrementos se hacen más pequeños, como puedes descubrir en la siguiente animación:

Animación en INTEF de José Ángel López bajo CC

Caso de estudio

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica

en el punto de abscisas .

Función derivada

Dado que la derivada es un concepto local, podría definirse la función derivada en aquellos puntos en que la función primera o primitiva es derivable.

Actividad

Si tenemos una función denominamos función derivada de respecto a la variable a una nueva función que para cada valor nos proporciona la derivada de la función en el punto . A la función derivada de la denotaremos , aunque también la puedes ver representada como . De esta forma tenemos que:

 

Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto , la pendiente de la recta tangente a la función en punto .

Caso de estudio

Calcula la función derivada de
En la siguiente escena de Geogebra, distinguimos cómo va surgiendo la derivada de la función de la manipulación de su pendiente.

Applet de GeoGebra por Patricia Pérez

Actividad de Espacios en Blanco

Utilizando la escena anterior, rellena los siguientes espacios en blanco:
  1. f'(x) le asociada a cada valor x la en el punto x, que es la de la recta tangente en x.
  2. Completa la siguiente tabla de valores de la función derivada
    x -1 0 1 2
    f'(x)

  3. La derivada de f(x)=x3 es f'(x)= (las potencias las insertaremos utilizando ^, por ejemplo x5 lo expresamos x^5)

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