RECTAS.- Toda aquella función cuya expresión algebraica viene dada por un polinomio de Primer Grado, $y=f(x)=ax+b$, donde $a,b \in \mathbb{R}$ se representa por una recta.

• El coeficiente a representa Tasa de Variación entre dos puntos cualesquiera de ella y se denomina pendiente o inclinación de la recta, siendo su signo el que determina que la recta sea decreciente, constante o creciente según sea negativo, cero o positivo, respectivamente.
• El coeficiente b representa el valor de la ordenada en el origen, es decir, $b=f(0)$.
• Los puntos de corte con los ejes de coordenadas se hallan del siguiente modo:
  - Con el eje OX: $\left\{\begin{array}{c}y=0 \\y=f(x)\end{array}\right.$
  - Con el eje OY: $\left\{\begin{array}{c}x=0 \\y=f(x)\end{array}\right.$

EJERCICIO 1.- Representa las gráficas de las siguientes funciones:

$f_1(x)= 2x+3;\ \ f_2(x)=-3x+2;\ \ f_3(x)=\frac{1}{4}x$

EJERCICIO 2.- A la vista de sus gráficas, determina la ecuación de cada una de las siguientes funciones:

EJERCICIO 1.- Representa las gráficas de las siguientes funciones:

$f_1(x)= 2x+3;\ \ f_2(x)=-3x+2;\ \ f_3(x)=\frac{1}{4}x$

Al tratarse las gráficas de rectas, bastará con hallar dos puntos en cada caso. Por ejemplo, determinamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas en los dos primeros casos y en el tercero podemos hallar cualquier otro punto distinto al (0,0).

EJERCICIO 2.- A la vista de sus gráficas, determina la ecuación de cada una de las siguientes funciones:

PARÁBOLAS.- Toda aquella función cuya expresión viene dada por un polinomio de Segundo Grado, $y=f(x)=ax^2+bx+c$, donde $a,b,c \in \mathbb{R}; (a\neq 0)$ se representa por una parábola.

El signo del coeficiente a condiciona la orientación de la parábola. Esta orientación determina si el Vértice de la misma es el Máximo Absoluto (a<0) o si es el Mínimo Absoluto (a>0) de dicha gráfica. Por la simetría de las dos ramas de la parábola, resulta fácil determinar la abscisa del Vértice de la misma ya que estará en el valor medio de dos puntos simétricos. Más concretamente, sean los puntos $A(x_1,c)\ y\ A'(x_2,c)$, de ordenadas y=c. Estos dos puntos estarán situados en la recta horizontal $y=c$ y en la gráfica de la parábola $y=f(x)=ax^2++bx+c$. Por tanto, resolviendo el sistema que forman dichas ecuaciones obtenemos sus respectivas abscisas. Serían estas:
$\left\{\begin{array}{c}y=c \\y=\text{ax}^2+\text{bx}+c\end{array}\to \text{ax}^2+\text{bx}+c=c; x(\text{ax}+b)=0\to \left\{\begin{array}{c}x_1=0 \\x_2=-\frac{b}{a}\end{array}\to x_v=\frac{0-\frac{b}{a}}{2}=\frac{-b}{2a}\right.\right.$
El Vértice de la parábola será el de coordenadas $V(x_v,y_v)=(\frac{-b}{2a},f(\frac{-b}{2a}))$

Los puntos de corte con los ejes de coordenadas se hallan del siguiente modo:
- Con el eje OX: $\left\{\begin{array}{c}y=0 \\y=f(x)\end{array}\right.$
- Con el eje OY: $\left\{\begin{array}{c}x=0 \\y=f(x)\end{array}\right.$

Ejercicio 1.- Halla el vértice de las parábolas y determina los puntos de corte con los ejes en las siguientes funciones cuadráticas:
a) $f_1(x)=2x^2 -5x+2$;    b) $f_2(x)=-(x-1)^2+9$;     c) $f_3(x)=x^2+x+1$

Ejercicio 2.- Obtén las ecuaciones de las siguientes parábolas, sabiendo que se han obtenido todas ellas, a partir de la función y=f(x) (señalada en rojo), a través de distintos movimientos, como traslaciones y simetrías. 

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Ejercicio 1.- Halla el vértice de las parábolas e indica si es Máximo o Mínimo y determina los puntos de corte con los ejes en las siguientes funciones cuadráticas:
a) $f_1(x)=2x^2 -5x+2$;    b) $f_2(x)=-(x-1)^2+9$;     c) $f_3(x)=x^2+x+1$

Podemos hallar el vértice V de una parábola de varias formas.
* A partir de la expresión de la parábola $f(x)=ax^2+bx+c$, obtenemos directamente, como ya hemos visto, $V=(\frac{-b}{2a},f(\frac{-b}{2a}))$.
* Completamos cuadrados en la expresión algebraica dada. Así podemos determinar directamente ambas coordenadas del vértice de la parábola. Para ello, debemos manipular algebráicamente,  $y=ax^2+bx+c;\ y=a(x+\frac{b}{2a})^2+k\to V=(\frac{-b}{2a},k)$

a) $f_1(x)=2x^2-5x+2\to x_v=\frac{5}{4}$. En definitiva, $y=2x_v^2-5x_v+2=\frac{-9}{8};\ V=(\frac{5}{4},\frac{-9}{8})$. El Vértice es el punto Mínimo de la parábola.
Los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:
Eje OX (y=0): $2x^2-5x+2=0;\ {x_1=2,\ x_2=\frac{1}{2}}\to A(2,0);\ B(\frac{1}{2},0)$
Eje OY (x=0): $C(0,2)$

b) $f_2(x)=-(x-1)^2+9\to V=(1,9)$; El Vértice es el punto Máximo de la parábola.
Los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:
Eje OX (y=0): $-(x-1)^2+9;\ {x_1=-2,\ x_2=4}\to A(-2,0);\ B(4,0)$
Eje OY (x=0): $C(0,8)$

c) $f_3(x)=x^2+x+1\to x_v=\frac{-1}{2}$. En definitiva, $y=x_v^2+x_v+1=\frac{3}{4};\ V=(\frac{-1}{2},\frac{3}{4})$. El Vértice es el punto Mínimo de la parábola.
Los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:
Eje OX (y=0): No hay puntos de corte en el eje de abscisas. El Vértice, al ser el punto mínimo y encontrarse por encima del eje de abscisas, la parábola no puede cortar a dicho eje.
Eje OY (x=0): $C(0,1)$

Ejercicio 2.- Obtén las ecuaciones de las siguientes parábolas, sabiendo que se han obtenido todas ellas, a partir de la función y=f(x) (señalada en rojo), a través de distintos movimientos, como traslaciones y simetrías. 

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Comenzamos hallando la ecuación de la parábola base $y=f(x)$. Esta parábola tiene por vértice el punto $V(2,1)$. Este hecho supone que la ecuación tendrá la forma:

$y=f(x)=k(x-2)^2+1$.

Además sabemos que $k<0$ ya que está orientada "hacia abajo". Como la gráfica pasa por el punto $A:(0,-1)$, podemos entonces hallar el valor de k si sustituimos dichas coordenadas en la expresión dada:

$y=k(x-2)^2+1;\  -1=k(0-2)^2+1\to k=-\frac{1}{2}$. 

En definitiva, la ecuación de esta parábola sería:

$y-1=\frac{-1}{2}(x-2)^2; f(x)=\frac{-1}{2}(x-2)^2+1;\ f(x)=\frac{-1}{2}x^2+2x-1$.

Vamos ahora a reconocer los movimientos que, a partir de $y=f(x)$, nos permiten determinar las ecuaciones de las siguientes gráficas:

• Para la gráfica de $y=f_1(x)$, tenemos que trasladar $y=-f(x)$ según el vector $\overset{\rightharpoonup }{v}=(-2,7)$. Por tanto, podemos expresar $f_1(x)-7=-f(x+2)$, ya que el signo del coeficiente a varía de signo, al cambiar la orientación de la misma. El vértice de $y=f_1(x)$ es $V_1=(0,6)$ y, entonces hemos de realizar una traslación de +2 unidades a la derecha y -7 unidades hacia abajo para llegar al vértice $V(2,-1)$ de la parábola $y=-f(x)$. Por tanto, $f_1(x)=-f(x+2)+7$. También podemos expresar su ecuación de una forma más directa, sabiendo el valor del coeficiente $a=\frac{1}{2}$ y su vértice $V_1=(0,6)$. Su ecuación sería: $y=f_1(x)=\frac{1}{2}(x-0)^2+6;\ f_1(x)=\frac{1}{2}x^2+6$.
• De igual modo, podemos ya determinar los movimientos a realizar para obtener las gráficas de las restantes parábolas:

$y-3=f(x-6)\to f_2(x)=f(x-6)+3;\ y-3=f(x-13)\to f_3(x)=f(x-13)+3$
$y-5=-f(x-13)\to f_4(x)=-f(x-13)+5;\ y-7=-f(x-13)\to f_5(x)=-f(x-13)+7$. 

• Si desarrollamos todas las anteriores expresiones a partir de la ecuación de $y=f(x)$, obtenemos los siguientes resultado:

$f_1(x)=\frac{1}{2}(x-0)^2+6$	$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2+6$
$f_2(x)=\frac{-1}{2}(x-8)^2+4$	$f_2(x)=\frac{-1}{2}x^2+8x-28$
$f_3(x)=\frac{-1}{2}(x-15)^2+4$	$f_3(x)=\frac{-1}{2}x^2+15x-\frac{217}{2}$
$f_4(x)=\frac{1}{2}(x-15)^2+4$	$f_4(x)=\frac{1}{2}x^2-15x+\frac{233}{2}$
$f_5(x)=\frac{1}{2}(x-15)^2+6$	$f_5(x)=\frac{1}{2}(x-15)^2+6$

HIPÉRBOLAS.- Toda aquella función cuya expresión viene dada por una fracción algebraica entre polinomios de Primer Grado, $y=f(x)=\large{\frac{ax+b}{cx+d}}$, donde $a,b,c,d \in \mathbb{R}; (c\neq 0)$ se representa por una hipérbola. Para entender por qué todas las funciones que tengan esta expresión vienen representadas por este mismo tipo de gráfica, bastará observar que la expresión dada se puede entender como la traslación de la gráfica:

$y=f(x)=\frac{1}{cx}$ (hipérbola), según un vector cualquiera $\overset{\rightharpoonup }{v}=(m,n)$.

En efecto, esa traslación trae como resultado, una misma gráfica (hipérbola) que tendrá por ecuación:

$y-n=f(x-m) \rightarrow \ y=f_1(x)=f(x-m)+n=\large{\frac{1}{c(x-m)}}+n=\large{\frac{cnx-cnm+1}{cx-cm}}=\large{\frac{ax+b}{cx+d}} \rightarrow \ a=cn;b=-cnm+1;d=-cm$

Ejercicio 1.- Completa los huecos de la siguiente tabla:

$f(x)=a+\frac{k}{x-b}$	$y=\frac{mx+n}{px+q}$	Centro de simetría	Constante de Proporcionalidad k	Asíntota Horizontal y=a	Asíntota Vertical x=b
$f(x)=2+\frac{4}{x+3}$
	$\frac{-3x+1}{x+4}$
		$O(2,4)$	$k=-3$
			$k=2$	$y=3$	$x=-4$

Ejercicio 2.- Representa las gráficas de las funciones:

a) $f_1(x)=\frac{3x-2}{x+1}$
b) $f_2(x)=-1+\frac{2}{2-x}$

Ejercicio 1.- Completa los huecos de la siguiente tabla:

$f(x)=a+\frac{k}{x-b}$	$y=\frac{mx+n}{px+q}$	Centro de simetría	Constante de Proporcionalidad k	Asíntota Horizontal y=a	Asíntota Vertical x=b
$f(x)=2+\frac{4}{x+3}$	$\frac{2x+10}{x+3}$	$O(-3,2)$	$k=4$	$y=2$	$x=-3$
$f(x)=-3+\frac{13}{x+4}$	$\frac{-3x+1}{x+4}$	$O(-4,-3)$	$k=13$	$y=-3$	$x=-4$
$f(x)=4+\frac{-3}{x-2}$	$\frac{4x-11}{x-2}$	$O(2,4)$	$k=-3$	$y=4$	$x=2$
$f(x)=3+\frac{2}{x+4}$	$\frac{3x+14}{x+4}$	$O(-4,3)$	$k=2$	$y=3$	$x=-4$

Ejercicio 2.- Representa las gráficas de las funciones:

a) $f_1(x)=\large{\frac{3x-2}{x+1}}$
b) $f_2(x)=-1+\large{\frac{2}{2-x}}$

Estas son sus gráficas

Funciones exponenciales.
En principio, sería una función exponencial toda aquella que responda a la expresión $y=f(x)=a^x;\ (0<a,\ a\neq 1)$. Ahora bien, como sabemos por las propiedades de los logaritmos, podemos expresar cualquier número $a>0$ del modo $a=e^{lna}\ \to y=a^x=e^{lna·\ x}$

Por tanto, sean las expresiones y=f(x) del tipo:
$f(x)=A e^{a x}+B; (Exponenciales)$
$f(x)=A\ ln[ax+b]+B; (Logarítmicas)$
Mientras que el dominio de la exponencial es todo $R$, en las logarítmicas hay que obligar a que el valor de $ax+b>0$.
Veamos sus gráficas a continuación, donde hemos expresado y descrito la tendencia de las colas de las respectivas gráficas con el concepto intuitivo de límite en el infinito ($-\infty , +\infty$).

Ejemplos de exponenciales: En los siguientes ejemplos vamos a estudiar cómo le afecta a la función las diferentes modificaciones en el valor y en el signo de los coeficientes A y B de la definición anterior de las funciones exponenciales, en cuanto a las tres características que estamos estudiando: el dominio y los dos límites, cuando x tiende a menos infinito y cuando x tiende a más infinito. Para cada función, quedan recogidos como características tras la llave y se pueden comprobar en sus respectivas gráficas que están dibujadas en la imagen siguiente a cada uno de los dos bloques:

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Funciones logarítmicas. 

La función inversa de la función exponencial es la función logarítmica. Esto quiere decir que la composición de ambas daría lugar a la función identidad. $(fof^{-1})(x)=(f^{-1}of)(x)=x$. Por tanto, las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto de la recta $y=x$, bisectriz del Primer y Tercer Cuadrante.

En realidad, representar una función y su recíproca consiste en cambiar los valores de x por y de cada punto y viceversa, es decir si una función pasa por el punto $(a,b)$ la función recíproca pasará por el punto $(b,a)$.

Dado que es equivalente: $y=e^{x} \Leftrightarrow x=log_{e}(y)$

Este hecho nos sirve para representar cualquiera de una de ellas, a partir de la otra. Veamos este hecho en las siguientes tablas:

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Como ejercicio, puedes representar los puntos de las tablas y las respectivas funciones en Geogebra para comprobarlo.