4.2. Analizando datos de energía potencial gravitatoria

Escalador
Imagen en Pixabay. Dominio público

Estos datos (como los de la tabla anterior) pueden representarse en una gráfica. Así se puede tener una información visual muy rápida de cómo se relacionan las magnitudes.


Vamos a representar los datos de la tabla asociada a la energía potencial de una persona de 55 kg que está escalando una montaña de 100 metros de altura.

Para ello, debemos calcular la energía potencial que tiene a distintas alturas. ¿Cómo podemos hacerlo? Debemos conocer la función que relaciona la energía potencial con la altura.

  • Primero sustituimos los datos en la fórmula de la Energía potencial. El único dato fijo que tenemos es la masa, que es 55 kg.  Nos quedaría:

fórmula energia potencial

Elaboración propia

  • Realizamos el producto 9,8 × 55 y obtenemos:

función lineal ep h

Elaboración propia

Esta es nuestra función donde la altura (h) es la variable independiente y varía entre 0m y 100m.  Esto se escribe así 0≤h≤100.

La energía potencial es  (Ep) que varía dependiendo del valor que toma la altura.   Es la variable dependiente.

tabla Gráfica
Imágenes de elaboración propia

La gráfica que obtenemos  es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Si observas los datos te darás cuenta de que:

  • Si la altura se dobla, la energía aumenta también el doble.
  • Si la altura se multiplica por 10, también la energía lo hace.

Recuerda: este tipo de relación entre dos magnitudes se llama relación lineal.

La gráfica corresponde a una función lineal.  Este tipo de funciones ya las estudiamos con profundidad en el bloque 9.

Actividad

Recuerda: la representación gráfica de una relación lineal es siempre una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Gráfica de función lineal
Elaboración propia

Cambiemos ahora de problema. Supongamos que ahora fijamos la energía potencial (del mismo modo que en el problema anterior fijamos la masa).

Supongamos que tenemos varios cuerpos, de masas comprendidas entre 10 y 100 kg, y queremos calcular a qué altura debe estar cada uno de ellos para tener una energía potencial de 1000 J.

Para no estar resolviendo constantemente la ecuación de primer grado cuya incógnita es "h", vamos a buscar la función donde la variable dependiente (la que va en eje vertical) es la altura y la variable independiente (la del eje horizontal) es la masa.  La energía potencial está  fija, 1000 J.

  • Primero vamos a sustituir el valor de la energía potencial Ep=1000 J en la fórmula, con lo que nos quedaría:

fórmula energia potencial

Elaboración propia

  • Pasamos 9,8 dividiendo al lado izquierdo del = , y a continuación hacemos la división:

Despeje

                      Elaboración propia

  • Ahora despejamos "h", ya que queremos que su valor dependa (sea dependiente) de la masa (m):

Despeje

                                   Elaboración propia


  • ¡Y ya tenemos nuestra función!:

Despeje

                                Elaboración propia

En esta función la masa varía entre 10 kg y 100 kg.  Esto se escribe así 10≤m≤100

 ¿En qué se diferencia esta función de la anterior? La variable independiente m está elevada a 1 pero... ¡está en el denominador!

Vayamos a la tabla y fíjate en la gráfica que obtenemos:

Tabla y gráfica

función inversa altura
Elaboración propia Elaboración propia

Si observas los datos comprobarás que a más masa, se necesita menos altura para que la energía potencial sea constante. Más exactamente:

  • Para el doble de masa, hace falta la mitad de la altura.
  • Para 3 veces más masa hace falta 3 veces menos.

Este tipo de relación entre dos magnitudes se llama proporcionalidad inversa. En este caso decimos que la masa y la altura son inversamente proporcionales. La gráfica correspondiente es una curva decreciente, en forma de rama de hipérbola.

Objetivos

Para saber más…

Si quieres afianzar y/o profundizar sobre la función de proporcionalidad inversa puedes hacerlo con la siguiente lista de reproducción de vídeos del canal childtopia.

Ahora ya puedes practicar con la siguiente aplicación de GeoGebra.

La gráfica de la función del ejemplo anterior es un trozo de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa, cuya fórmula y gráfica es:

función inversa altura
Elaboración propia

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