3. Divisibilidad. MCM y MCD

Fotografía de osolev en Flickr. Licencia CC

Divisibilidad. Múltiplos y divisores.

Frente a lo que pudiera parecer la operación producto de números enteros ha tenido mayor importancia que la suma. El producto ha permitido un mayor conocimiento de los números enteros e interesantes aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la clasificación de los números primos, que son esenciales en las labores de codificación en informática y en la creación de claves.

Importante

Si con y números enteros distintos de 0, entonces

y se llaman divisores o factores de . También se dice múltiplo de y .

Dado que 2·5 = 10, 2 y 5 son divisores o factores de 10. A su vez 10 es un múltiplo de 2 y de 5.

Decir que 2 es un divisor de 10 es equivalente a decir que 10 es un múltiplo de 2. Por tanto, los múltiplos de un número natural son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales:

Vídeo de lasmatematicas.es alojado en Youtube

Ser divisor es lo recíproco a ser múltiplo. Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 9. Los divisores de un número natural lo pueden dividir de forma exacta.

Para hacer más operativa la búsqueda de los divisores de un número, tenemos los criterios de divisibilidad.

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten averiguar con rapidez si un número es divisible por otro; es decir, si el más grande es múltiplo del más pequeño o si el más pequeño es divisor del más grande.

criterios de divisibilidad

Estos criterios de divisibilidad no solo nos permiten reconocer, sin realizar la división, si un número es divisible por otro, sino también descomponer el número como un producto de otros números.

En la siguiente presentación descubrirás cómo se hace esta descomposición y cómo, a través de ella, podemos calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, conceptos que te serán muy útiles de aquí en adelante.

Comprueba lo aprendido

A continuación, algunos ejercicios para practicar la descomposición en factores primos:

Escena de Eduardo Barbero Corral en Proyecto Descartes. Licencia CC

Ejercicio Resuelto

En nuestro instituto funcionan cinco talleres: fotografía, ajedrez, canto, teatro y literatura. Las reuniones del taller de fotografía se hacen cada dos días, el de ajedrez cada tres, el de canto cada cuatro días, el de teatro cada cinco días y el de literatura cada seis días.

Si el día 1 de Octubre se reunieron los cinco talleres, ¿Cuándo será la próxima vez en que volverán a coincidir las reuniones de todos los talleres?

Retroalimentación

Observa que el número buscado debe ser múltiplo de los 5 números dados, ya que un taller se reúne cada vez que suma una cantidad fija de días, es decir, va construyendo un serie de múltiplos (p.e. ajedrez se reúne a los 3 días, a los 6 días, a los 9 días, ..., el de teatro a 5 días, a los 10, a los 15,...).

Por tanto, queremos un múltiplo común, y deseamos saber la primera vez que ocurrirá; luego, buscamos el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.

Como hemos visto antes, descomponemos todos los números en factores primos y tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente. De ese modo es múltiplo de todos y es el más pequeño posible.

Pues bien haciendo eso, obtenemos que 2,3 y 5 son números primos, 4 = 2² y 6 = 2·3; Por tanto el mínimo común múltiplo es 2²·3·5, o lo que es lo mismo 60.

Luego cada 60 días vuelven a coincidir. Si coincidieron el día 1 de octubre, la próxima vez será el 30 de noviembre.