1.1. Conceptos básicos

Como hemos visto en el apartado 1, sucesiones existen muchas y muy famosas como, por ejemplo, la sucesión de los números primos.

El primer término de la sucesión, se simboliza como a₁, el segundo como a₂, y así sucesivamente, por lo que los primeros términos de la sucesión se denotarían como

a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 5, a₅ = 7, a₆ = 11, a₇ = 13, ...

Otra famosa sucesión es la formada por los cuadrados de los números naturales que, como ya habrás adivinado, tiene como primeros términos a₁ = 1, a₂ = 4, a₃ = 9, a₄ = 16, ... Esta sucesión tiene como término general a_n = n². Gracias a esta expresión podemos determinar cualquier término de la sucesión, por ejemplo, para calcular el término quinto, tan solo sustituimos n por 5 y obtenemos a₅ = 5² = 25.

¿Te gustan los pasatiempos? En general, son pequeños divertimentos lógicos que nos hacen pensar y nos evaden durante cierto tiempo de la realidad. Veamos si eres capaz de resolver este que te proponemos:

Considera la siguiente secuencia numérica (los números que la forman son los llamados números triangulares).

Imagen de elaboración propia

¿Sabrías decir cómo continúa la secuencia? ¿cuáles son el quinto y sexto número triangular? ¿y el décimo? ¿Serías capaz de dar una regla general para construirlos todos?

En el caso de números triangulares, tenemos que a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = 6, a₄ = 10, ...

Puedes comprobar que el término general de la sucesión formada por los números triangulares es  (Más adelante, en el apartado 2, veremos porqué).

Vamos a verificar que esta expresión es cierta para el término que ocupa el segundo lugar:  . 

Esa expresión es la denominada regla de formación de los números triangulares, la cual nos permite conocer el valor de cualquier término sin más que conocer el lugar que ocupa en la sucesión.  Por ejemplo, el término que ocupa el lugar 100 tendrá el valor  .

Ahora bien, no siempre es posible escribir el término general de una sucesión usando una expresión algebraica (aunque conozcamos la regla que sirve para hallar sus términos). Este es el caso de las sucesiones recurrentes, en las que cada término queda determinado si se conocen los dos términos anteriores.

La famosa sucesión de Fibonacci es de este tipo. Recuerda, a₁ = 1, a₂ = 1 y, a partir del tercer término, se cumple que a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}, es decir, cada término se obtiene sumando de los dos términos anteriores.

Aplicando la regla de recurrencia anterior tenemos que:

• a₃ = a₂ + a₁ = 1 + 1 = 2
• a₄ = a₃ + a₂ = 2 + 1 = 3
• a₅ = a₄ + a₃ = 3 + 2 = 5
• ...