2.2. Acotación. Máximos y mínimos absolutos y relativos.

El término cota es muy utilizado entre los aficionados al alpinismo, a la alta montaña o simplemente al trekking. Según la RAE, una de las acepciones de esta palabra es "Altura o nivel en una escala de valores", pero en matemáticas, también existe este término y tiene connotaciones muy parecidas. Antes de entrar en materia, puedes disfrutar de este video de las cotas mas significativas de Sierra Nevada

 


 

Actividad

Decimos que el valor k es cota superior de la función f(x) si para cualquier valor de x que pertenezca al dominio de la función

Analizamos la función f(x) = 4-x2. Sabemos que está función es de tipo cuadrática, por lo que su vértice se encuentra en siendo la función y = ax2+bx+c, por lo que el vértice lo encoentramos en x= 0, con f(0) = 4. Por lo tanto, cualquier valor por encima de 4 es una cota superior de la función. Veamos graficamente la función y como los valores 5,6 ó 7 son cotas superiores.

 


 

Actividad

De manera análoga decimos que un número k es cota inferior de una función si se verifica  , donde x es cualquier núero que pertenece al dominio.

La función f(x) = x4 -2x2 + 2 tiene la siguiente representación gráfica

 

 

Por lo que podemos afirmar que las valores 0.5, 0 ó -1 son cotas inferiores de la función indicada

Según hemos visto en la definición de cota, nos vamos a encontrar con muchas cotas de una función, por lo que no sería significativo para caracterizar una función hablar de una de sus cotas. Pero si hablamos de una cota superior e inferior particular y que fuera única, si sería un valor interesante para caracterizarla. Para ello vamos a definir el máximo y el mínimo de una función.

Actividad

Decimos que un valor a es el máximo absoluto de una función si pertenece al dominio y es la menor de las cotas superiores.

Analogamente decimos que un valor b es el mínimo absoluto  de una función si pertenece al dominio y es la mayor de las cotas inferiores.

Estudiemos de nuevo la función f(x) = x4 -2x2 + 2, a la cual le calculamos varias cotas inferiores como 0.5 ó -1. Veamos esta nuevo imagen de la función.

 

 

Vemos que el valor -1 es una cota de la función indicada y ademas es el mayor valor de las cotas inferiores, por lo que podemos asegurar que es el mínimo de la función. ¿Para qué valores de x alcanzamos esos valores? En este caso para dos valores. Si observas la gráfica, para los valores x= -1 y x= 1 alcanzamos el valor 1, es decir, f(1) = 1 y f(-1) = 1.

Para los valores x= 1 y x=-1 la función alcanza el mínimo y su valor es 1

 

Cabe preguntarnos una nueva cuestión ¿toda función tiene cota superior o inferior? ¿toda función tiene máximo o mínimo?

Analiza graficamente  la función y = x y como puedes comprobar no existe ningún valor que sea superior o inferior a los valores de la función, por lo que podemos decir que existen funciones que no están acotadas y al no estarlo, por supuesto, no tienen ni máximo ni mínimo

Actividad

La función f(x) alcanza un máximo relativo en el punto a si  f(a) es mayor o igual que las imágenes de los puntos cercanos a "a". Asi mismo, podemos decir que

la función f(x) alcanza un mínimo relativo en el punto b si  f(b) es menor o igual que las imágenes de los puntos cercanos a "b".

 

 

 

Volvemos a trabajar con nuestra ya vieja amiga función f(x) = x4 -2x2 + 2 y analicemos, viendo su gráfica, si tiene algún extremo relativo.

Vemos que para el valor de la función tomado para x=0. f(0)=2, es un máximo relativo, ya que en un entorno suyo, es el valor mas alto que toma la función. No globalmente, solo, como decimos, en un entorno de ella.

 

Caso de estudio

Determina las cotas, máximos absolutos y relativos de la función  de la función f(x) = x3-3x, cuya representación es