1. Crecimiento y decrecimiento de una función en un punto
La derivada de una función en un punto específico nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Esta pendiente es un indicador clave de cómo se comporta la función en ese punto y en sus alrededores inmediatos.
Crecimiento de la Función Si la derivada de la función en un punto es positiva, significa que la pendiente de la recta tangente en ese punto es positiva. Esto implica que, a medida que nos movemos hacia la derecha (incrementamos $x$), el valor de la función $f(x)$ está aumentando. En términos gráficos, la función va ascendiendo a medida que nos desplazamos hacia la derecha desde ese punto. Por lo tanto, podemos decir que la función está creciendo en ese punto.
Decrecimiento de la Función Por otro lado, si la derivada de la función en un punto es negativa, indica que la pendiente de la recta tangente en ese punto es negativa. Esto significa que, conforme avanzamos hacia la derecha, el valor de la función $f(x)$ está disminuyendo. Visualmente, la gráfica de la función desciende a medida que nos movemos hacia la derecha desde ese punto. Así, la función está decreciendo en ese punto.
La imagen muestra la gráfica de una función polinómica junto con rectas tangentes trazadas en puntos específicos de la función. Observa como en los puntos $x= -8$, $x = -2$ y $x=8$ la derivada es negativa y se corresponden con puntos de decrecimiento de la función. Por el contrario, en $x = 3$, la derivadas es positiva y en dicho punto la función es creciente.
Imagen de elaboración propia. Crecimiento de crecimiento en un punto.(CC BY-NC-SA)
2. Puntos críticos de una función
Los puntos críticos de una función son aquellos puntos en los cuales la derivada de la función es igual a cero. Estos puntos son importantes porque pueden ser lugares donde la función tiene un máximo o un mínimo relativo. En términos simples, son los puntos donde la función cambia su comportamiento de crecimiento o decrecimiento.
Para calcular los puntos críticos de una función debemos seguir los siguientes pasos:
Calcula la derivada de la función $f'(x)$
Halla los valores de $x$ donde la derivada de la función es igual a 0, es decir, resuelve la ecuación $f'(x)=0$
Estos puntos son donde la pendiente de la tangente a la gráfica de la función es horizontal, lo cual indica un posible máximo o mínimo local.
Esto se debe a que un cambio de pendiente de positivo a negativo o de negativo a positivo implica un cambio en la dirección de la gráfica de la función, lo que suele ocurrir en los máximos y mínimos. Sin embargo, es importante mencionar que no todos los puntos donde $f′(x)=0$ son necesariamente máximos o mínimos. Para confirmar si son máximos o mínimos, se deben realizar pruebas adicionales, como el test de la primera derivada, que se va a ver con detalle en el punto 4 de esta misma página.
Ejemplo.
Para calcular los puntos críticos de la función \( f(x) = x^3 - 3x^2 \), seguimos los siguientes pasos:
Primero, encontramos la derivada de la función: \( f'(x) = {\large{\frac{d}{dx}}}(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x \)
Luego, igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \( 3x^2 - 6x = 0 \)
Factorizamos para resolver la ecuación: \( 3x(x - 2) = 0 \)
Los puntos críticos son los valores de \( x \) que hacen que la ecuación sea cero: \( x = 0 \) y \( x = 2 \)
Por lo tanto, los puntos críticos de \( f(x) = x^3 - 3x^2 \) son \( x = 0 \) y \( x = 2 \).
La siguiente imagen muestra la gráfica de la función \( f(x) = x^3 - 3x^2 \) junto con las rectas tangentes en sus puntos críticos \( x = 0 \) y \( x = 2 \).
Imagen de elaboración propia. Puntos críticos.(CC BY-NC-SA)
Máximo Relativo: En un punto de máximo relativo, la gráfica de la función cambia de crecer a decrecer. Esto significa que a la izquierda del punto, la pendiente (derivada) es positiva (subiendo), y a la derecha del punto, la pendiente es negativa (bajando). En el punto máximo mismo, la pendiente debe ser horizontal, es decir, $f′(x)=0$, ya que es el punto de transición entre subir y bajar. Mínimo Relativo: De manera similar, en un punto de mínimo relativo, la gráfica de la función cambia de decrecer a crecer. Esto implica que a la izquierda del punto, la pendiente es negativa, y a la derecha, la pendiente es positiva. En el punto mínimo mismo, la pendiente debe ser horizontal, o $f′(x)=0$, ya que es el punto de transición entre bajar y subir (decrecer y crecer).
Para determinar si los puntos críticos de una función son máximos o mínimos relativos, utilizamos el test de la primera derivada: Consiste en analizar el signo de la derivada de la función antes y después de cada punto crítico. Los pasos son los siguientes:
Identificar los puntos críticos: Primero, encontramos los puntos críticos de la función, que son los valores de $x$ para los cuales la derivada primera es cero.
Elegir valores de prueba: Seleccionamos valores de $x$ que estén cerca de los puntos críticos, pero que no sean los puntos críticos mismos. Normalmente, elegimos al menos un valor antes y uno después de cada punto crítico. En este punto es muy importante tener presente siempre el dominio de la función, a la hora de elegir esos puntos procurar que entre los valores elegido y el valor crítico no haya cambios de definición o discontinuidades que pueden alterar este estudio.
Evaluar la derivada en los valores de prueba: Evaluamos la derivada primera en estos valores de prueba. Si la derivada cambia de signo al pasar a través de un punto crítico, indica un máximo o un mínimo.
Si la derivada cambia de positiva a negativa al pasar a través de un punto, dicho punto es un máximo local. Si la derivada cambia de negativa a positiva, el punto es un mínimo local.
Ejemplo.
Sea la función \( f(x) = x^3 - 3x^2 \).
Identificar los Puntos Críticos: Los puntos críticos encontrados son \( x = 0 \) y \( x = 2 \).
Calculamos $f'(x)=3x^{2}-6x$
Igualamos a cero y resolvemos: $f'(x)=0 \rightarrow 3x^{2}-6x=0 \rightarrow x·(3x-6)=0 \rightarrow \left\{{\large{x=0 \atop 3x-6=0 \rightarrow x=2}}\right.$
Valores de Prueba: Elegimos valores como \( x = -1 \), \( x = 1 \) y \( x = 3 \).
Evaluar la Derivada: Calculamos la derivada en estos puntos:
En \( x = -1 \): \( f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 9 \) (positiva)
En \( x = 1 \): \( f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3 \) (negativa)
En \( x = 3 \): \( f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 9 \) (positiva)
En \( x = 0 \), la derivada pasa de positiva a negativa, indicando un máximo local, porque la función pasa de creciente a decreciente.
En \( x = 2 \), la derivada pasa de negativa a positiva, indicando un mínimo local, porque la función pasa de decreciente a creciente.
La imagen inferior demuestra cómo se aplica el test de la primera derivada a la función presentada en el ejemplo, ilustrando la manera en que la derivada de la función determina las regiones donde la función es creciente o decreciente. Además, muestra cómo los cambios de signo en la derivada son indicativos de la presencia de máximos y mínimos relativos.
Imagen de elaboración propia. Máximos y mínimos relativos.(CC BY-NC-SA)
El siguiente vídeo explica, a través de ejemplos, cómo determinar los máximos y mínimos relativos de una función.
Aplicamos el test de la primera derivada: Elegimos un punto a la izquierda, por ejemplo,$x = 5$: $f'(5) = -{\large{\frac{432}{5^2}}} + 2 \cdot 5 < 0\\$ Elegimos un punto a la derecha, por ejemplo, $x = 7$: $f'(7) = -{\large{\frac{432}{7^2}}} + 2 \cdot 7 > 0 \\$
Dado que la derivada cambia de negativa a positiva, $x = 6$ es un mínimo local.
Imagen de elaboración propia. Gráfica de función (2).(CC BY-NC-SA)
Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $3x^2 - 12 = 0 \\ x^2 = 4 \\ x = \pm 2 \\$
Calcular los puntos críticos: $x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \\$
Aplicamos el test de la primera derivada: Para $x_1 = 2$: Elegimos un punto a la izquierda, por ejemplo, $x = 1$: $f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 12 \\$ Elegimos un punto a la derecha, por ejemplo, $x = 3$: $f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 12 \\$ Para $x_2 = -2$: Elegimos un punto a la izquierda, por ejemplo, $x = -3$: $f'(-3) = 3 \cdot (-3)^2 - 12 \\$ Elija un punto a la derecha, por ejemplo $x = -1$: $f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 12 \\$ $f'(x)$ cambia de signo alrededor de $x_1$ y $x_2$.
Encontramos los valores de la función en los puntos críticos: $f(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 - 8 \\ f(-2) = (-2)^3 - 12 \cdot (-2) - 8 \\$
Imagen de elaboración propia. Gráfica de función (3).(CC BY-NC-SA)
6. Optimización
La optimización de funciones es un concepto fundamental en matemáticas, economía y muchas más disciplinas científicas, que se centra en encontrar el valor máximo o mínimo de una función en un determinado contexto. Este proceso implica identificar los puntos en los que una función alcanza sus valores extremos (ya sea un máximo o un mínimo) y es especialmente útil en situaciones donde se necesita optimizar algún recurso, como tiempo, dinero, materiales, etc.
El proceso de optimización generalmente implica los siguientes pasos:
Modelar el problema: Traducir la situación real a una función matemática $f(x)$ donde la variable independiente representa el elemento a optimizar.
Calcular la derivada: Encontrar la primera derivada $f'(x)$ de la función para identificar los puntos críticos.
Hallar los puntos críticos: Igualar la derivada a cero y resolver para encontrar los puntos críticos. $f'(x)=0$
Determinar qué puntos críticos son máximos o mínimos relativos: Utilizar el test de la primera para determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos.
Evaluar los puntos críticos: Calcular el valor de la función en los puntos críticos para determinar el valor óptimo.
7. Ejemplos resueltos
Imagen de elaboración propia. Jardín.(CC BY-NC-SA)
Problema 1.
Un jardinero tiene 100 metros de valla para cercar un jardín rectangular junto a una pared existente, usando la pared como uno de los lados del jardín. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del jardín para maximizar el área que se puede cercar?
Solución.
En el problema, se menciona que se dispone de 100 metros de valla para cercar un jardín rectangular junto a una pared existente, utilizando la pared como uno de los lados del jardín. Esto significa que solo se necesitan vallas para los otros tres lados del jardín.
Si llamamos $x$ a la longitud de los dos lados iguales del jardín y $y$ a la longitud del lado opuesto a la pared, la función objetivo (el área del jardín) sería $A(x)=x⋅y$. Sin embargo, debemos expresar $y$ en términos de $x$ usando la restricción de que el total de vallas utilizadas es de 100 metros. La longitud total de las vallas es $2x+y=100$, lo que nos da $y=100−2x$.
Por lo tanto, la función objetivo correcta, expresada solo en términos de $x$, sería $A(x)=x(100−2x)$. Ahora, el problema se reduce a maximizar esta función en el dominio válido para $x$, que sería entre 0 y 50 metros (ya que $x$ no puede ser negativo y $2x$ no puede ser mayor que 100).
Paso 2. Calculamos la primera derivada: $A'(x) = 100 - 4x$
Paso 3. Hallamos los puntos críticos: $A'(x) =0$ $100 - 4x = 0 \\ 4x = 100 \\ x = 25 \\$
Paso 4. Determinamos la naturaleza del punto crítico:
$A'(10)=100-4·10=60>0$ y $A'(30)=100-4·30=-20<0$
por lo que la función es creciente a la izquierda de 25, y decreciente a la derecha. Por consiguiente, $x=25$ es un máximo relativo de la función, porque cambia de creciente a decreciente.
En este punto, es muy importante tener presente el dominio como se ha comentado justo antes del punto 1. No tendría sentido usar 60 en lugar de 30 en este cálculo porque no estaría en el dominio y estaríamos usando un valor incorrecto, aunque para la función matemática si lo fuera.
Paso 5. Calculamos el Área Máxima: $A(25) = 25(100 - 2 \cdot 25) = 1250$ m2
Si $x=25$ m, entonces el lado mayor debe ser $y=100-2·25=50$ m. Con estas medidas obtenemos el rectángulo que maximiza el área cercada.
Problema 2.
Imagen de elaboración propia generada con DALL-E 3. Flota de camiones.(CC BY-NC-SA)
Una empresa de logística desea minimizar el costo total de transporte de mercancías desde su almacén a varios puntos de distribución. El costo total $C$ en función de la cantidad de camiones $x$ utilizados se modela por la ecuación $C(x) = 40x + {\large{\frac{1000}{x}}}$ . ¿Cuál es el número óptimo de camiones que la empresa debe utilizar para minimizar el costo total?"
Solución.
Paso 1. Función de Costo: $C(x) = 40x + {\large{\frac{1000}{x}}}$
Paso 2. Calculamos la primera derivada: $C'(x) = 40 - {\large{\frac{1000}{x^2}}}$
Paso 3. Hallamos los puntos críticos $C'(x) =0$
$40 - {\large{\frac{1000}{x^2} }}= 0$
${\large{\frac{1000}{x^2}}} = 40 $
$x^2 = {\large{\frac{1000}{40}}} $
$x = \sqrt{{\large{\frac{1000}{40}}}} $
$x = \sqrt{25} $
$x = 5 \\$
En este caso, aunque $x=-5$ también sería una solución de la ecuación matemática sin embargo, no la consideramos por el significado que tiene x en nuestro problema. Recordemos que x es el número de camiones, y este dato no puede ser negativo, por eso ni siquiera se tiene en cuenta.
Paso 4. Determinamos la naturaleza del punto crítico:
Aplicamos el test de la primera derivada: Seleccionar puntos a la izquierda y a la derecha de $x = 5$, por ejemplo $x = 4$ y $x = 6$ y evaluamos $C'(x)$. Comprobamos que decrece a la izquierda y crece a la derecha de $x=5$. Es, por consiguiente, un mínimo relativo, porque cambia de decreciente a creciente.
Por lo tanto, el número óptimo de camiones que la empresa debe utilizar para minimizar el costo total es 5, y el costo mínimo es de 400 unidades monetarias.
En la gráfica de abajo puedes observar como, efectivamente, en $x=5$ la función $C(x)$ presenta un mínimo relativo.
Imagen de elaboración propia. Gráfica de función.(CC BY-NC-SA)
8. Resuelve y completa
Resuelve los siguiente problemas de optimización y completa los huecos. Si la respuesta no es un número exacto, redondéala a dos decimales.
Problema 1.
El teatro originalmente vende las entradas a 50 euros y tiene 300 asientos. Por cada euro que aumenta el precio, pierde dos espectadores. Si aumenta el precio en $x$ euros, el nuevo precio será $50+x$ euros, y el número de espectadores será $300−2x$.
La función de ingresos será: $R(x) = (50 + x)·(300 - 2x)=15000 + 200x - 2x^2$
Calculamos la primera derivada: $R'(x) = {\large{\frac{d}{dx}}}(15000 + 200x - 2x^2) \rightarrow R'(x) = 200 - 4x $
Calculamos los Puntos Críticos: $R'(x) =0$
$200 - 4x = 0$
$4x = 200$
$x = {\large{\frac{200}{4}}}$
$x = 50$
Aplicamos el Test de la Primera Derivada:
Seleccionamos puntos a la izquierda y a la derecha de x = 50 y evaluamos R'(x).
$R'(49) = 200 - 4·49=4>0$
$R'(51) = 200 - 4·51=-4<0$
Concluimos que en $x=50$ existe un máximo relativo, porque la función cambia de creciente a decreciente.
Por lo tanto, el aumento óptimo en el precio de las entradas es de 50 euros, lo que lleva a un nuevo precio de venta de $50+50=100$ euros.
Problema 2.
Necesitamos encontrar el punto en el que la concentración del medicamento es máxima. Esto se logra encontrando el máximo de la función \( C(t) = 40t - 5t^2 \).
Para encontrar el máximo, primero calculamos la derivada de \( C(t) \) con respecto a \( t \):
$ C'(t) = \frac{d}{dt}(40t - 5t^2) = 40 - 10t $
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
$40 - 10t = 0 $
$ 10t = 40 $
$ t = 4$
Dado que la función es una parábola que se abre hacia abajo (el coeficiente de \( t^2 \) es negativo), el punto crítico en \( t = 4 \) horas es un máximo.
Sustituimos \( t = 4 \) en \( C(t) \) para encontrar la concentración máxima:
$ C(4) = 40(4) - 5(4)^2 = 160 - 80 = 80$
La concentración máxima es de 80 mg/L.
La concentración máxima del medicamento en la sangre, 80 mg/L, se alcanza 4 horas después de su administración.
Problema 3.
La función de beneficio $B(x)$ se calcula restando el coste total de producción $C(x)$ de los ingresos totales obtenidos por la venta de las unidades producidas.
Así, la función de beneficio $B(x)$ es: $B(x)=Ingresos−Coste$
$B(y)=700y−(y^2+50y+20000)$
La función de beneficio es:
$ B(y) = -y^2 + 650y - 20,000 $
La primera derivada de la función de beneficio es:
$ B'(y) = 650 - 2y $
Encontramos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero:
$ 650 - 2y = 0 $
$ y = 325 $
Aplicamos el test de la primera derivada para determinar si es un máximo:
$ B'(324) = 650 - 2(324) = 2 > 0 $
$ B'(326) = 650 - 2(326) = -2 < 0$
Ya que \( B'(y) \) cambia de positivo a negativo, \( y = 325 \) es un máximo local, porque la función cambia de creciente a decreciente.
Aplicamos y test de la primera derivada con valores antes y después:
$V'(4)=12·4^2 - 224·4 + 768 = 64 > 0$
$V'(5)=12·5^2 - 224·5 + 768 = -52 < 0$
y comprobamos que en $x_2 \approx 4.53$ la función $V(x)$ presenta un máximo relativo, porque la función cambia de creciente a decreciente.
Para maximizar el volumen de la caja, el lado del cuadrado recortado en cada esquina debe ser aproximadamente 4.53 cm.
Problema 5.
Paso 1: Expresar el volumen en función de una sola variable La superficie total \( A \) es: \[ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 600 \] Despejamos \( h \): \[ h = \frac{600 - 2\pi r^2}{2\pi r} \] El volumen \( V \) es: \[ V = \pi r^2 h \] Sustituimos \( h \): \[ V(r) = \pi r^2 \left( \frac{600 - 2\pi r^2}{2\pi r} \right) \] \[ V(r) = \frac{600r - 2\pi r^3}{2} \]
Paso 2: Derivar la función de volumen y encontrar los puntos críticos Calculamos la derivada de \( V(r) \) con respecto a \( r \) y la igualamos a cero: \[ V'(r) = 0 \]
Paso 3: Determinar el valor máximo Encontramos el valor de \( r \) que satisface esta ecuación y verificamos si maximiza el volumen.
Derivamos la función de volumen y encontrar los puntos críticos La función de volumen \( V(r) \) es: \[ V(r) = \frac{600r - 2\pi r^3}{2}=300r-\pi r^3 \]
Calculamos la derivada de \( V(r) \) con respecto a \( r \): \[ V'(r) = {\large{\frac{d}{dx}}} \left(300r-\pi r^3 \right) \] \[ V'(r) = 300 - 3\pi r^2 \]
Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 300 - 3\pi r^2 = 0 \] \[ 3\pi r^2 = 300 \] \[ r^2 = \frac{300}{3\pi} \] \[ r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} \]
Determinamos el valor máximo:
Calculamos el valor numérico aproximado de \( r \): \[ r = \sqrt{\frac{100}{\pi}} \approx 5.64 \]
Comprobamos que se trata de un máximo aplicando el test de la primera derivada, para ello sustituimos en la función derivada un valor menor y otro mayor para estudiar su signo:
\[ V'(5) = 300 - 3\pi · 5^2 \approx 64.38>0\]
\[ V'(5) = 300 - 3\pi · 6^2 \approx 39.29<0\]
Que garantiza en el valor calculado de $r \approx 5.64$ hay un máximo relativo porque la función cambia de creciente a decreciente.
Una vez que tenemos \( r \), podemos encontrar \( h \) usando la expresión despejada de la superficie total: \[ h = \frac{600 - 2\pi r^2}{2\pi r} \]
Calculamos el valor numérico aproximado de \( h \): \[ h = \frac{600 - 2\pi (\sqrt{\frac{100}{\pi}})^2}{2\pi \sqrt{\frac{100}{\pi}}} \approx 11.28 \]
Resultados numéricos Los valores numéricos aproximados para las dimensiones de la lata cilíndrica que maximizan su volumen, redondeados a dos decimales, son:
- Radio \( r \): \( 5.64 \) cm - Altura \( h \): \( 11.28 \) cm
