Aplicamos las ecuaciones del MRUA

Actividad de Lectura

¡Vamos, vamos… qué hay prisa!

El AVE S-103 que une Madrid y Barcelona puede alcanzar una velocidad maxima de hasta 350 km/h. Claro, que ir tan rápido no se consigue así como así... y es que el bicho tiene una masa de "solo" 425.000 kg, que no son fáciles de acelerar (como verás en el tema 4 de este mismo bloque)

De hecho, pasa de cero a cien en unos 50 s...

¿Con qué aceleración arranca el AVE S-103?
Si mantuviera esa aceleración constante, ¿cuánto tiempo tardaría en alcanzar su velocidad máxima?

Como cuando estudiábamos el MRU, lo primero que tenemos que hacer cuando vamos a resolver un problema de movimientos es establecer el sistema de referencia. Recuerda que nos vale cualquiera, pero que siempre debemos elegir:

El que nos permita obtener la ecuación de movimiento más sencilla.
El que nos permita tener una comprensión más clara del movimiento que estamos estudiando.

En este caso vamos a elegir el sistema de referencia que puedes ver en la imagen.

El segundo paso que debemos dar es escribir cuáles son las constantes del movimiento en ese sistema de referencia. Para ello es necesario haber entendido muy bien los datos que nos ofrece el enunciado del problema y tener en cuenta que debemos expresar todos los datos en las unidades adecuadas (tenemos que pasar los km/h a m/s):

; ;

Ya estamos preparados para escribir las ecuaciones de movimiento, que será lo siguiente que hagamos. Como las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado son siempre de la forma:

;

en el caso de tren, y teniendo en cuenta lo que sabemos sobre las constantes del movimiento, las ecuaciones serán:

;

Que podemos escribir de forma más simple como

;

(Observa como una adecuada elección del sistema de referencia nos permite tener ecuaciones de movimiento muy sencillas, pues la posición y la velocidad inicial "desaparecen" de las ecuaciones)

Con la ecuación de movimiento podemos ya calcular cualquier cosa que queramos. El problema es que, en este caso, no conocemos la aceleración del movimiento... ¡Tenemos las ecuaciones incompletas!... De manera que ha llegado la hora de pensar.

No tenemos las ecuaciones completas... pero sabemos que cuando t valga 50 s en la ecuación de la velocidad, la velocidad debe valer 100 km/h (que expresado en las unidades adecuadas son 27,78 m/s)

Es decir, debe cumplirse que... , lo que nos permite despejar la aceleración de esta sencilla ecuación de primer grado:

Por lo tanto, ya tenemos la solución a la primera pregunta que nos hacíamos: la aceleración con la que arranca el tren es de 0,5556 m/s²

En cuanto a la segunda pregunta... para responderla tenemos que usar de nuevo la ecuación de la velocidad que, ahora, sí que sabemos completamente:

Tan solo debemos pensar de nuevo y darnos cuenta de que lo que queremos ahora es saber cuánto debe valer t para que v valga 350 km/h (que, en las unidades adecuadas, son 97,22 m/s). Es decir, que la ecuación que debemos resolver es... .

Fácilmente, despejamos el tiempo:

Por tanto, la respuesta a la segunda pregunta será: El tren tarda en alcanzar su velocidad máxima unos 175 s, que son unos 2 minutos y 55 segundos.

(Recuerda: siempre es conveniente expresar las soluciones en una unidades que sean lo más fácilmente comprensibles)

Pre-conocimiento

Parece más fácil… pero es lo mismo

En algunas situaciones, como la del problema que acabas de estudiar, en el que conocíamos las velocidades inicial y final de un MRUA y el tiempo y queríamos averiguar la aceleración que ha tenido el movimiento, parece más fácil aplicar la propia definición de la aceleración:

Pero... en el fondo... es lo mismo que has estudiado en el ejemplo...

y si, como en este caso, tanto v₀ como t₀ valen cero... nos queda , que es la misma ecuación que hemos aplicado arriba.

Actividad de Lectura

Imagen: © Aleksandr Ugorenkov | Dreamstime.com

¡Echa el freno… !

Pero si difícil es poner al tren a esas velocidades... ¡No veas lo que cuesta pararlo!

La aceleración con la que puede frenar el S-103 es, tan solo, de 1,21 m/s² (es muy difícil detener un vehículo tan pesado).

¿Cuánto tiempo tardará en detenerse el tren si frena de manera constante y empieza a frenar cuando va a su máxima velocidad?

Mientras frena... avanza, por supuesto. Pero ¿qué distancia recorrerá desde que empieza la frenada hasta que, por fin, consigue detenerse?

De nuevo, tenemos que empezar a pensar en este problema estableciendo un sistema de referencia. Recuerda que nos sirve cualquiera, pero que siempre debemos intentar buscar uno que…

Nos permita obtener la ecuación de movimiento más sencilla.
Nos permita tener una comprensión más clara del movimiento que estamos estudiando

En este caso parece lógico ponerse en la piel del propio maquinista del tren ¿no crees? y, así, considerar que el origen del sistema de referencia está en el punto donde empieza la frenada. Vamos a usar el sistema de referencia que ves en la imagen:

Fíjate en que la aceleración, en este sistema de referencia, debe ser negativa, puesto que estamos considerando que la velocidad que lleva el tren es positiva y, para frenar, el tren debe acelerar en sentido contrario a la velocidad que lleve.

Ahora tenemos que escribir cuánto valen las constantes del movimiento en el sistema de referencia que hemos establecido:

; ;

(donde ya hemos expresado la velocidad inicial del tren, 350 km/h, en una unidad adecuada para los cálculos, m/s)

Ya podemos escribir las ecuaciones del movimiento: ;

Que podemos escribir de forma más simplificada... ;

Con las ecuaciones de movimiento, y ahora las tenemos completas, podemos calcular lo que queramos. Llega la hora de pensar:

Para responder a la primera pregunta, nos damos cuenta de que cuando se para, su velocidad es 0 m/s. Por tanto, sustituyendo ese valor en la ecuación de la velocidad, tendremos que… , una sencilla ecuación de primer grado de la que podemos despejar la t:

Y ya tenemos resuelta la primera cuestión: El tren tarda en detenerse unos 80,35 s (que son 1 minuto y algo más de 20 s)

(Recuerda que siempre es conveniente expresar las soluciones en una unidades que sean lo más fácilmente comprensibles)

Para responder a la segunda pregunta necesitaremos utilizar la ecuación de la posición. Solo tenemos que sustituir los datos que ya conocemos, puesto que la distancia que recorrerá el tren coincidirá con la posición que ocupe en el instante t=80,35 s...

Y ya tenemos resuelta la segunda cuestión: El tren recorre unos 3905,68 m hasta detenerse, es decir, ¡casi 4 km!

(Recuerda que siempre es conveniente expresar las soluciones en una unidades que sean lo más fácilmente comprensibles)

Hay un MRUA que es especialmente importante por "lo cerca" que lo tenemos.

Al decir "cerca" nos referimos a que es un fenómeno muy cotidiano; todos los días vemos ejemplos de ese movimiento (más o menos) ¿O acaso no has visto nunca algo que se cae desde cierta altura, como una hoja que cae de un árbol, por ejemplo? ¿O no has lanzado algo verticalmente hacia arriba (una piedra, una pelota,...)

Pues bien, el movimiento de esos objetos que caen o que se lanzan verticalmente hacia arriba es un MRUA, cuya aceleración constante vale 9,8 m/s² y SIEMPRE está dirigida hacia el centro de la Tierra.

A esa aceleración con la que caen los objetos se la suele llamar la aceleración de la gravedad y se la suele representar por la letra g.

El estudio de estos movimientos es muy sencillo porque... ¡Siempre sabemos lo que vale la aceleración!

Actividad de Lectura

Imagen: dreamstime

Todo empezó con una manzana… en caída libre

Según cuenta la leyenda, Newton llevaba ya bastante tiempo dándole vueltas al tema de porqué caían los cuerpos, hasta que un día... se le cayó la manzana en la cabeza.

Sí, así como lo lees. Estaba leyendo bajo un gran manzano cuando una manzana madura se desprendió del árbol y fue a caer justo a su lado. Como te digo, la leyenda cuenta que entonces Newton comprendió por fin porqué las cosas caían como caían.

Pero claro... eso es... solo una leyenda.

Imagina que Newton hubiese "acechado" otra manzana (no dudes que si la leyenda es cierta, seguro que lo hizo) y hubiese medido el tiempo que tardase en caer: 85 centésimas de segundo, es decir, 0,85 s.

¿Podría haber podido calcular Newton con esos datos desde qué altura cayó la manzana? ¿Y tú, lo podrías calcular?

Newton no lo sé... pero tú seguro que sí lo has podido hacer. Esta situación es muy similar a la de los dos ejemplos anteriores, los del AVE, y "se le mete mano" como a todos los problemas de movimiento:

Lo primero, como siempre, será establecer un sistema de referencia adecuado. Recuerda:

El que nos permita obtener la ecuación de movimiento más sencilla.
El que nos permita tener una comprensión más clara del movimiento que estamos estudiando.

En este caso vamos a elegir el que ves en la figura, con el origen en el suelo y el sentido positivo hacia arriba (que parece lo más lógico ¿no?).

Una vez elegido, escribiremos las constantes del movimiento en ese sistema de referencia:

¡No lo sabemos! Fíjate que es lo que queremos calcular, la altura desde la que cayó la manzana.

(la manzana parte del reposo; no se movía cuando empezó a caer, estaba colgadita, en su árbol)

(la aceleración sí la sabemos, es la de la gravedad. Fíjate que, en el sistema de referencia que hemos elegido, es negativa, porque va hacia abajo, hacia el suelo)

El siguiente paso es escribir las ecuaciones del movimiento:

La de la velocidad: , que podemos escribir de modo más simple...

La de la posición: , que podemos escribir de modo más simple...

Y ahora llega el momento de pensar. Queremos saber la altura desde la que cayó la manzana y eso... "huele" a usar la ecuación de la posición ¿verdad? porque allí precisamente sale la h. Pero claro, hay un montón de cosas que no sabemos: h, v, e y t. ¿Por dónde empezamos?

Pues bien, la verdad es que sabemos más de lo que creemos.... Por ejemplo ¡sabemos t! Mejor dicho, sabemos que cuando t=0,85 s, entonces la manzana llega al suelo, es decir, la posición de la manzana cuando t=0,85 s es... e=0 m.

Si estos datos los ponemos en la ecuación de la posición nos quedará:

Y esto ya sí que sabemos hacerlo ¿verdad?... Es una simple ecuación de primer grado con una incógnita. Solo hay que despejar la h. Vamos a ello:

Solución: La manzana cayó desde 3,54 m (prácticamente tres metros y medio).

(Recuerda que siempre es conveniente expresar las soluciones en una unidades que sean lo más fácilmente comprensibles)

Imagen: sxc.hu

¿Y si en lugar de una deliciosa manzana, hubiera sido una hoja la que se cae del árbol, pero desde la misma altura?

¿Habría tardado el mismo tiempo? ¿Tal vez más...?

Tu experiencia te dice que... ¡POR SUPUESTO QUE SÍ! La hoja tardaría más tiempo en caer ¿Verdad?

Pero... ¿Y si no hubiera aire? ¿Qué pasaría si tanto la manzana como la hoja cayesen... pero en el vacío, donde no la pudiera frenar el aire?

Pre-conocimiento

Parece mentira pero…

... en ausencia de aire, en el vacío, todos los cuerpos caen de la misma forma, con la misma aceleración, con la misma velocidad. Es algo que no nos imaginamos porque, claro, siempre hemos visto las cosas caer "habiendo aire".

Es algo que ya nos dejó dicho Galileo hace muchos, muchos años (en el siglo XVII), y que los astronautas que llegaron a la Luna en la misión Apolo XV pudieron comprobar "en directo" (allí no hay aire que frene la caída de los cuerpos y, además, la aceleración de la gravedad es mucho más pequeña que en la Tierra, solo 1,6 m/s2, con lo que "se ve mejor", las cosas caen más despacio)

Transcripción del Diario de a bordo

167:22:06 Scott: Bien, en mi mano izquierda tengo una pluma y en la derecha un martillo. Y supongo que una de las razones por la que estamos hoy aquí es por un caballero llamado Galileo, porque hace mucho tiempo hizo un importante descubrimiento sobre los cuerpos que caen en un campo gravitatorio. Y pensamos que la Luna sería el mejor lugar para confirmar sus ideas.

167:22:28 Scott: Ahora lo intentaremos para que lo veas. Concretamente, la pluma es de un halcón, una pluma de halcón de nuestro Halcón (se refiere al halcón del escudo de..). Ahora soltaremos los dos a la vez y, esperemos, llegarán al suelo a la vez. (Pausa)

167:22:43 Scott: ¡qué te parece!
167:22:45 Allen: ¡qué te parece! (Aplausos en Houston)

167:22:46 Scott: Lo que demuestra que las ideas de Galileo eran correctas. (Pausa)

Actividad de Lectura

Caída libre pero… hacia arriba

Se suele decir que "todo lo que sube baja" y, al menos en lo que se refiere al movimiento de caída libre podríamos añadir... "y baja lo mismo que ha subido, pero al revés". Con este ejemplo seguro que lo entiendes.

Cuando se lanza un cuerpo hacia arriba verticalmente, como su velocidad va hacia arriba, pero su aceleración (la de la gravedad) va hacia abajo, el cuerpo va frenando, frenando, frenando... hasta que se para en el punto más alto de su trayectoria.

Está parado un instante (recuerda, parado significa con v=0) y vuelve a bajar "lo mismo que ha subido". Esto quiere decir que cuando va bajando, al pasar por cierta altura (la que sea) llevará la misma rapidez que llevaba cuando estaba subiendo. (Claro, si no hay aire, si no hay rozamiento)

¡Ojo, la misma velocidad no! porque en un caso se movía hacia arriba y en el otro hacia abajo. Pero sí la misma rapidez.

Actividad de Lectura

Las cosas son diferentes al MRU…

Una de las características del MRU era que se recorrían distancias iguales en tiempos iguales ¿lo recuerdas?

Como siempre que pensamos en un movimiento se nos viene a la cabeza un MRU, solemos pensar que esto es siempre así. Pero no, no es siempre así; en los MRUA no se recorren distancias iguales en tiempos iguales. En este ejemplo lo vas a comprobar.

Volvamos al ejemplo de la pelota, pero ahora para preguntarnos en qué instante pasará la pelota justo por la mitad de su recorrido hacia arriba.

Podríamos pensar que si ha tardado 1,22 s en subir hasta 7,35 m... pues en subir hasta la mitad (3,675 m) deberá haber tardado también la mitad de tiempo, es decir, 0,61 s.

Pero... ¿Qué nos dirán los cálculos? ¿Estaremos en lo cierto?

Como el movimiento que estamos estudiando es el mismo de antes, podemos seguir usando el mismo sistema de referencia y las mismas ecuaciones del movimiento:

La de la velocidad:

La de la posición:

La única diferencia con el ejemplo anterior es a la hora de pensar. Ahora sí que estamos un poco perdidos, pues lo único que sabemos es que la posición de la pelota debe ser e=3,675 m... pero no sabemos nada de la velocidad que tendrá entonces la pelota.

Eso significa que no podemos usar la ecuación de la velocidad para calcular el tiempo, tal y como hicimos en el ejemplo anterior. No tenemos más remedio que usar la ecuación del espacio, sustituir ahí el valor de e y... ¡que sea lo que dios quiera!

Bueno... ¡vaya sorpresa! ¡Nos sale una ecuación con una sola incógnita! Si somos capaces de despejar "t" de esa ecuación... ya tendremos resuelto el problema.

Pero ahora sí que tenemos un problema gordo ¡La ecuación no es de primer grado! ¡Es una ecuación de segundo grado! La incógnita, la "t", aparece elevada al cuadrado; por eso es de segundo grado

¿Y entonces qué? ¿No se puede resolver?

Por supuesto que sí se puede resolver... ¡Menudas son las Matemáticas!

Por ahora, te vamos a poner aquí la solución y después verás cómo lo hemos conseguido resolver. La solución a la ecuación de segundo grado anterior es:

Como ves, se obtienen dos soluciones: 2,09 y 0,36. Las Matemáticas nos resuelven la ecuación, pero nosotros tenemos que interpretar esas soluciones. En este caso no tiene sentido la solución 2,09 s, puesto que si la pelota llegó arriba del todo en 1,22 s, no puede ser que pasara por la mitad del recorrido a los 2,09 s. Por tanto:

Solución: la pelota, cuando va subiendo, pasa por la mitad del recorrido en el instante 0,36 s.

¡Nuestra intuición estaba equivocada!

Y se cumple lo que decíamos: la pelota no recorre distancias iguales en tiempos iguales, puesto que tarda solo 0,36 s en llegar a la mitad de la altura máxima, pero en recorrer la otra mitad y llegar hasta la altura máxima tarda

En el ejemplo anterior ha habido que resolver algo nuevo, una ecuación de segundo grado con una incógnita.

Ya sabes que resolver ecuaciones es algo habitual en la Ciencia y la Tecnología, que, sin las Matemáticas, se quedarían sin su herramienta más preciada. Si no fuera por ellas, por las Matemáticas, no hubiera sido posible el espectacular desarrollo que la Ciencia y la Tecnología ha experimentado en los últimos siglos.

Ya viste cómo se resolvían las ecuaciones de primer grado. Eran fáciles ¿verdad? Pues bien, las de segundo grado, que son las que tienen la incógnita elevada al cuadrado, son aún más fáciles de resolver.

¡Solo hay que aplicar una fórmula!

Si haces clic aqui podrás ver cómo se ha resuelto la ecuación de segundo grado del ejemplo anterior.

Te sugerimos que no dejes de visitar el siguiente enlace. En él podrás aprender muchas cosas sobre las ecuaciones de segundo grado con una incógnita y practicar... ¡hasta que te hartes!

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Objetivos

Para saber más…

¿Recuerdas que los sistemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita se podían resolver gráficamente?

¿Se podrán resolver también así las ecuaciones de segundo grado?

Pues sí, las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse gráficamente. Claro que, para ello, es necesario dibujar muy bien la parábola que representa a la función cuadrática y = ax² + bx + c.

Las soluciones de la ecuación ax² + bx + c = 0 son los puntos donde la parábola y = ax² + bx + c corta al eje X

(Puedes practicar en la escena de más abajo... Si no puedes verla, prueba haciendo clic aquí)