1.1. ¡Esto es lo que hay!
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| Futbol sala, imagen de malojavio bajo CC |
Suponemos que el mundo del Álgebra no es desconocido para ti. Ya en cursos anteriores has tomado contacto con él y habrás hecho tus pinitos con las ecuaciones. Como recordarás, uno de los aspectos más importantes en la resolución de problemas es conseguir traducir a lenguaje algebraico el lenguaje cotidiano que estemos utilizando para después aplicar los métodos de resolución. Por ejemplo, si las personas que forman un grupo, por ejemplo una clase de Bachillerato, se quieren agrupar en equipos de futbito, cada uno de los cuales con 5 jugadores, y de futbol, formados por 11 jugadores, como no sabemos cuántos grupos podemos hacer, la expresión correspondiente sería 5·x+11·y, siendo x el número de equipos de futbito e y el de futbol.
Importante
Se llama ecuación lineal con tres incógnitas a la suma de las tres incógnitas, multiplicadas por números, e igualada la suma a otro número. Por ejemplo, 6·x-2·y+9·z=24.
Esta definición puede ampliarse a cualquier cantidad de incógnitas. La única exigencia es que las variables vayan multiplicadas por números y sumadas. Puede darse que las variables aparezcan en distinto miembro, en ese caso basta agrupar todas las variables en un miembro y en el otro el término independiente. Por ejemplo, la ecuación 6x+9z=24+2y es equivalente a la anterior.
Se llama solución de la ecuación lineal a un conjunto de valores que al sustituirlos en las incógnitas hacen que se verifique la igualdad. Por ejemplo, los valores x=2, y=3, z=2 son solución de la ecuación anterior ya que se verifica que 6·2-2·3+9·2 = 12-6+18 = 24.
AV - Pregunta Verdadero-Falso
Retroalimentación
Falso
No es lineal ya que las variables x e y están multiplicadas entre si.Retroalimentación
Verdadero
Es lineal ya que se puede reordenar de la forma 3x+2y+6z=12, que es lineal.Retroalimentación
Verdadero
Es verdadera ya que se verifica que 3·1+4·2+5·(-2)=3+8-10=1.Importante
Por ejemplo a continuación tenemos un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas y otro de 2 ecuaciones con cuatro incógnitas.
La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de valores que verifican todas y cada una de las ecuaciones.
Por ejemplo, los valores x=1, y=-3, z=-6 verifican el primer sistema anterior ya que se verifica:
AV - Reflexión
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| Fotografía del ITE |
En un grupo de Bachillerato formado por 35 alumnos los hemos repartido formando tres equipos de baloncesto, dos de balonmano y uno de balonvolea. En otro grupo hemos formado dos de baloncesto, uno de balonmano y dos de balonvolea, juntando en total 29 alumnos. Por último, con 30 alumnos hemos conseguido un equipo de baloncesto, otro de balonmano y tres de balonvolea.
- Si x representa el número de alumnos que forman un equipo de baloncesto, y los del balonmano y z los que componen un equipo de balonvolea, escribe un sistema de tres ecuaciones con esas tres incógnitas que recoja la información anterior.
- Comprueba que x=5, y=7 y z=6 es solución del sistema anterior. ¿Qué representan esos valores?
Una forma muy cómoda de trabajar con un sistema es mediante su forma matricial, pues vamos a poder aplicar todo lo que hemos aprendido hasta el momento en la unidad.
Si tenemos un sistema general 
, se agrupan en forma matricial los términos como: 
.
La matriz 
recibe el nombre de matriz de los coeficientes y esta formada, por filas, por los coeficientes de cada una de las ecuaciones y por columnas por los coeficientes de cada variable.
La matriz 
es la matriz de las incógnitas y 
la matriz de los términos independientes.
Se llama matriz ampliada a la que se obtiene añadiéndole a la matriz de los coeficientes la columna de los términos independientes. 
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AV - Reflexión
Dado el sistema 
escríbelo en forma matricial y comprueba que, aplicando las operaciones con matrices, esa expresión es equivalente al sistema original.
¿Cuál sería la matriz ampliada en ese sistema?
Importante
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen exactamente las mismas soluciones, es decir, todas las soluciones del primer sistema lo son del segundo y viceversa.
Las propiedades que permiten convertir un sistema de ecuaciones en otro equivalente ya las has visto en cursos anteriores y son muy parecidas a las que hemos utilizado para aplicar Gauss en los temas anteriores. Si no las recuerdas o quieres repasarlas puedes hacerlo en el siguiente enlace.