3. Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Fotografía en Flickr de marcp_dmoz bajo licencia Creative Commons

Hasta ahora, habrás comprobado, y seguramente recordado, que esto de las inecuaciones no tiene mucha dificultad.

Hemos visto que fácilmente se nos presentan inecuaciones en situaciones cotidianas, pero lo más común es que se presenten varias en una misma situación, es decir, que en vez de una, tengamos un sistema de inecuaciones.

Por ejemplo, Pedro sólo tenía 10 € para gasolina, pero es que en esa gasolinera, lo mínimo que surtía era 2 litros, con lo cual ya aparecen dos desigualdades.

Quiere comprar mortadela, pero como mínimo tiene que pedir 100 gramos.

Y, de la misma forma que pasa con los sistemas de ecuaciones, puedes encontrarte con situaciones donde no hay solución. Imagina que lo mínimo que despacha la tienda es 1/4 y sólo tienes 1 €, como el Kg cuesta 5,70 €, no hay solución posible.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Escribe las dos inecuaciones que representan el problema de la gasolina, que acabamos de mencionar.

¿Cuál será la solución?

Recuerda que el litro costaba 1,25 €.

Importante

Un sistema de inecuaciones es un conjunto formado por dos o más inecuaciones.

Resolver un sistema de inecuaciones consiste es buscar valores que cumplan todas las inecuaciones del sistema.

Los pasos a seguir para resolver sistemas de inecuaciones lineales son los siguientes:

Resolvemos cada inecuación por separado.
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una de las inecuaciones por separado.

En el siguiente vídeo puedes ver la resolución de un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Caso de estudio

Vamos a resolver los siguientes sistemas de inecuaciones

Caso de estudio

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

Retroalimentación

Resolvemos en primer lugar la inecuacion:

La solución puede venir representada por el siguiente intervalo: . Gráficamente se representaría de la siguiente forma:

Fuente propia realizada bajo Dominio público

Vamos a continuación a proceder a resolver la segunda inecuación:

$\begin{matrix} 2x-5 & < & 7 \\ 3-x & > & 2x-5 \end{matrix}$

La solución puede venir representada por el siguiente intervalo: . Gráficamente se representaría de la siguiente forma:

Fuente propia realizada bajo Dominio público

Ahora vamos a hallar los puntos de los intervalos que son comunes a ambas inecuaciones, gráficamente podemos comprobar donde se encuentra la intersección de ambos intervalos.

Fuente propia realizada bajo Dominio público

Podemos apreciar que los puntos de la recta real entre -7 y 0 son soluciones comunes a ambas inecuaciones de ahí que la solución del sistema sea: .

Fuente propia realizada bajo Dominio público

Ejemplo o ejercicio resuelto

Vamos a resolver los siguientes sistemas de inecuaciones

Retroalimentación

Primera inecuación: 4x -6 ≤ x+2

Segunda inecuación 2+3x ≥x

Pasamos las incógnitas a un lado y los números a otro

Sumamos o restamos los términos

Despejamos X:

4x - x ≤ 2 + 6

3x ≤ 8

x ≤ 8 / 3

3x - x ≥ -2

2x ≥ -2

x≥ -2 / 2 → x≥-1

Si representamos gráficamente las dos soluciones, obtenemos:

Luego la solución es el intervalo [-1, 8/3]

b) Hacemos lo mismo con el segundo sistema:

Primera inecuación:

Segunda inecuación:

Eliminamos denominadores reduciendo a común denominador

Pasamos las incógnitas a un lado y los números a otro

Sumamos o restamos los términos

Despejamos X:

5x + 1 < 15

5x < 15 - 1

5x < 14

x < 14/5

5x < 4 - 2x

5x + 2x < 4

7x < 4

x < 4/7

Gráficamente:

Por tanto, la solución es (-∞,4/7).

En la siguientes imágenes creadas por Mª José García Cebrián, y alojadas en su página web, podéis ver en una de ellas, un resumen sobre inecuaciones y en la siguiente la resoluciónde un sistema de inecuaciones de primer grado.

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Señala si son Verdadero o Falso, cada uno de los siguientes enunciados.

Retroalimentación

Falso

Puede no tener solución.

Retroalimentación

Falso

La solución es (4,+∞).

Retroalimentación

Verdadero

De la primera inecuación obtenemos que x<-1/2 y de la segunda que x>1/3.

No hay puntos en común.

	Primera inecuación: $4x -6 \leq x+2$	Segunda inecuación: $2+3x \geq x$
Pasamos las incógnitas a un lado y los números a otro Sumamos o restamos los términos Despejamos x:	$\begin{array}{rcl} 4x - x & \leq & 2 + 6 \\ 3x & \leq & 8 \\ x & \leq & \frac{8}{3} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} 3x - x & \geq & -2 \\ 2x & \geq & -2 \\ x & \geq & \frac{-2}{2} \\ x & \geq & -1 \end{array}$

	Primera inecuación:	Segunda inecuación:
Eliminamos denominadores reduciendo a común denominador. Pasamos las incógnitas a un lado y los números a otro. Sumamos o restamos los términos. Despejamos x:	$\begin{array}{rcl} 5x + 1 & < & 15 \\ 5x & < & 15 - 1 \\ 5x & < & 14 \\ x & < & \frac{14}{5} \end{array}$	$\begin{array}{rcl} \frac{5x}{5} & < & \frac{4-2x}{5} \\ 5x & < & 4 - 2x \\ 5x + 2x & < & 4 \\ 7x & < & 4 \\ x & < & \frac{4}{7} \end{array}$

3. Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Ejemplo o ejercicio resuelto

Retroalimentación

Importante

Caso de estudio

Retroalimentación

Caso de estudio

Retroalimentación

Ejemplo o ejercicio resuelto

Retroalimentación

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Pregunta 1

Sugerencia

Retroalimentación

Pregunta 2

Sugerencia

Retroalimentación

Pregunta 3

Sugerencia

Retroalimentación