4. Forma polar de un número complejo. Representación gráfica
La trigonometría tiene muchas aplicaciones a distintos campos, como por ejemplo a la aritmética. En la primera unidad del curso estudiamos los números complejos en su forma binómica, veamos ahora otra forma de expresión: la forma polar.
 |
| Fotografía de 3093594 en Pixabay. Licencia, CC0 |
Para sumar y restar complejos es más cómodo utilizar la forma binómica, mientras que para multiplicar, dividir o calcular potencias es mucho más conveniente utilizar la forma polar. Por eso en este apartado solo hablaremos de estas operaciones, pero antes veamos en qué consiste.
La siguiente escena de Geogebra te muestra la representación gráfica del número complejo z=
(en azul). Si mueves el punto azul a lo largo del plano podrás ver la representación gráfica de otros números complejos (recuerda que cada punto del plano representa uno). En la parte inferior puedes ver los cálculos que tienes que realizar para hallar los valores necesarior para representar z, así como su forma binómica.
Importante
Un número complejo z=a+bi puede expresarse en función de su módulo 
, que designaremos por r, y del ángulo 
que forma el vector (a,b) con el semieje positivo del plano complejo, de la forma polar:
Donde:
r=módulo de z=
se conoce también como el argumento de z (arg(z)) y se halla con la calculadora científica de la siguiente forma 
.Siendo 
.
Ejercicio Resuelto
Escríbase el número complejo 
en forma polar.
Importante
Si tenemos dos números complejos y 
el producto 
es:
Al efectuar el producto el argumento resultante (
) puede ser mayor que 360º, en ese caso hay que restarle el correspondiente múltiplo de 360º para que el argumento esté en el intervalo de definición [0º,360º).
Ejercicio Resuelto
Multiplicar 
y 
.
Importante
Si tenemos dos números complejos y el cociente 
es:
Al efectuar el cociente, el argumento resultante puede ser menor que 0º. En ese caso hay que sumarle el correspondiente múltiplo de 360º para que el argumento esté en el intervalo de definición [0º,360º).
Ejercicio Resuelto
Dividir 
y 
.
Importante
Si tenemos el número complejo la potencia 
es:
Al efectuar la potencia el argumento resultante (
) puede ser mayor que 360º, en ese caso hay que restarle el correspondiente múltiplo de 360º para que esté en el intervalo de definición[0º,360º).
Ejercicio Resuelto
Hallar la potencia cuarta de 
.
Para saber más
Existen otras formas de expresar un número complejo. Un número complejo z=a+bi puede expresarse en función de su módulo , que designaremos por r, y del ángulo que forma el vector (a,b) con el semieje positivo del plano complejo, de la forma trigonométrica:
Donde:
r=módulo de z=
se conoce también como el argumento de z (arg(z)) y se halla con la calculadora científica de la siguiente forma: .Siendo 
.