2.2. Relaciones fundamentales
¿Te acuerdas de Sinuhé? El pobre, aún irá camino de Asuán. Su jefe, Erastótenes, no coincidió con Pitágoras pues vivió casi cuatro siglos después que él. Pero seguro que, como hombre sabio y director de la biblioteca de Alejandría, era conocedor de su obra y por tanto del famoso teorema que lleva su nombre, el teorema de Pitágoras.
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El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo ABC, hay la siguiente relación entre las longitudes de sus lados:
Es decir, la célebre frase: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
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Recuerda, en la definición del seno, coseno y tangente no influía el tamaño del triángulo rectángulo que se construía sobre el ángulo no recto α.
Supongamos que la hipotenusa del triángulo ABC anterior mide 1. Es decir 
= 1.
Completa, donde corresponda, con sen, cos y tg, los siguientes espacios en blanco.
Importante
De la solución de la Autoevaluación anterior podemos deducir las siguientes dos igualdades.
1) sen2 α + cos2 α = 1
2) tg α = 
Las dos igualdades anteriores son dos formas elegantes de relacionar las razones trigonométricas de un ángulo. En la primera se relacionana el seno y el coseno. Es decir, si conocemos una de ellas, podemos conocer la otra.
En la segunda, se relacionan las tres.
En la actualidad, y gracias al ya comentado uso de las calculadoras científicas, el manejo de estas fórmulas ha quedado bastante obsoleto. Cuando aún era necesario el uso de tablas para conocer las razones trigonométricas de un ángulo, el manejo de fórmulas como estas, y otras que veremos más adelante, era una herramienta muy útil.
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Escena de María José García Cebrian / Consolación Ruiz Gil en Proyecto Descartes. Licencia CC
Reflexiona
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Volvemos al alquiler de plataformas para pintar fachadas de casas. Ahora nos preguntamos qué longitud mínima ha de tener el brazo telescópico de una grúa que se puede abrir hasta un ángulo de 70º, para poder alcanzar una altura de 10 metros.
Seguro que te ayudará a encontrar la solución de este problema realizar un dibujo esquemático de la situación planteada.
Importante
A la inversa del seno de un ángulo α, se le llama la cosecante del ángulo, y se escribe cosec α.
cosec α = 
De manera similar se definen la secante y cotangente, como la inversa del coseno y de la tangente respectivamente.
sec α = 
, y cotg α = 
Para saber más
En varias ocasiones, hemos tenido que buscar un ángulo conocida su razón trigonométrica, es decir, hemos tenido que utilizar la tecla SHIFT de la calculadora científica.
A estos procesos se les llama arcos.
Por ejemplo, saber qué ángulo agudo tiene por seno 0,42, se le llama el arco seno de 0,42, y se escribe arcsen 0,42 = 24,83º.
De foma parecida se definen el arco coseno, y se escribe arccos α, y la arco tangente, que escribiremos arctg α.
Veamos un vídeo de cómo hacer estos cálculos:
Vídeo de Matemáticas Reales alojado en Youtube