2.1. Teorema del Resto

Actividad

El resto de la divisíon del polinomio P(x) y el binomio (x-a) es el valor numérico del polinomio para x=a.

Para obtener el resto de la división de un polinomio entre un binomio no es necesario realizar la división, ya que podemos utilizar el teorema indicado. Veamos un ejemplo.

Si queremos obtener el resto de la división (x3-2x2+4) y x-2, calculamos el valor numérico de  (x3-2x2+4) para x=2, es decir (23-2·22+4) = 8-8+4 = 4. El resto de la división indicada es 4.

Ten cuidado si el binomio por el que se divide es de la forma x+a, ya que el valor numérico lo debes obtener para x = -a

 

Caso de estudio

Determina el resto de la división (x4-3x3-5x2-x-1):(x+1)

Caso de estudio

Determina el valor de k para que el resto de la división de los polinomios x2-kx+4 y x-3 sea 1

Actividad

TEOREMA DEL RESTO

El polinomio P(x) es divisible por x-a, si x=a es una raiz de P(x) o solución de P(x) = 0

Caso de estudio

Calcula k para que x3-2x2+kx+8 sea divisible por x-2

Objetivos

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO

Si dividimos el polinomio P(x) entre el binomio (x-a), obtenemos un cociente C(x) y un resto R. Si utilizamos la propiedad de la división que indica que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto, obtenemos

P(x) = (x-a)·C(x) + R

Vamos a utilizar el valor numérico para x=a en esta expresión, obteniendo P(a) = (a-a)·C(a) + R = 0·C(a)+R = R, por lo que P(a) = R