6. Derivadas. Aplicaciones

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Variación media y variación instantánea. Interpretación geométrica

Dada una función se llama variación media de en un intervalo al cociente:

Al ser la variación media un cociente de variaciones las unidades en que se expresa son también cociente de unidades.

Geométricamente, la tasa de variación media de la función en el intervalo es la pendiente de la recta secante a la gráfica de que pasa por los puntos y . 

La tasa de variación instantánea de una función en el punto es:

Derivada en un punto. Interpretación geométrica

Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota por . Así, según la definición tenemos que:

 

 

Recuerda que para que exista este límite, deben existir los límites laterales y coincidir. Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como:

• Derivada por la derecha:

• Derivada por la izquierda:

En el caso de que ambos límites coincidan diremos que la función es derivable en el punto .

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto, ya que las rectas secantes en el entorno de un punto tienden a confundirse con la recta tangente en el punto a medida que los incrementos se hacen más pequeños.

Función derivada. Reglas de derivación. Derivadas sucesivas

Dado que la derivada es un concepto local podría definirse la función derivada en aquellos puntos en que la función primera o primitiva es derivable.

Si tenemos una función denominamos función derivada de respecto a la variable a una nueva función que para cada valor nos proporciona la derivada de la función en el punto . A la función derivada de la denotaremos , aunque también la puedes ver representada como . De esta forma, tenemos que:

Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto , la pendiente de la recta tangente a la función en punto .

Todos los resultados que aparecen en la siguiente tabla son fruto de aplicar la definición de derivada de una función. Te recomendamos que para no tener que recurrir una y otra vez a esta definición, te aprendas el siguiente cuadro. No te asustes, es más sencillo de lo que parece, el secreto está en la práctica.

 

Suma		La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas de estas funciones
Resta		La derivada de la diferencia de funciones es la diferencia de las derivadas de estas funciones
Producto		La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la segunda derivada por la primera sin derivar.
Cociente		La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, y todo ello dividido por el denominador al cuadrado
Producto por un número		La derivada del producto de un número real por la función es igual al número real por la derivada de la función
Composición		Regla de la cadena

 

A la derivada de una función también se la denomina derivada primera. Si volvemos a derivar la derivada primera de una función, obtenemos la llamada derivada segunda; la derivada de la derivada segunda se denomina derivada tercera; y así sucesivamente. Estas son las llamadas derivadas sucesivas de una función:

 

 

Aplicación de la derivada a la representación de funciones

Conceptos relacionados con el estudio de f

• Dominio, los valores para los cuales está definida la función.

 

• Simetría. Existen dos tipos de simetría:

 

• Una función es simétrica respecto al eje de ordenadas (OY), si para todo valor, , de su dominio se cumple que: . En este caso decimos que la función es par.

 

• Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas, si para todo valor, , de su dominio se cumple que: . En este caso decimos que la función es impar.

 

• Puntos de corte con los ejes.

 

• El punto de corte de la función con el eje vertical, eje de ordenadas o eje OY, es aquel en el que la variable se hace cero. Por lo tanto, basta anular la variable en la función para obtener la ordenada del punto de corte. Es decir, en la función será un punto de la forma

 

•  Por su parte, el corte de la gráfica de la función con el eje de abscisas, eje horizontal o eje OX, corresponderá a un valor de que anule la función. Es decir, si se verifica que , entonces el punto de corte con el eje horizontal será .

 

• Asíntotas. Dada una función cuya gráfica es la curva se dice que la recta es una asíntota de si la curva se acerca a indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia . Tenemos 3 tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

 

Conceptos relacionados con el estudio de f'

• Monotonía. Es el comportamiento de una función respecto a su crecimiento o decrecimiento. Sea una función derivable en un intervalo , entonces:

 

• es creciente en el intervalo si en todo el intervalo .

 

• es decreciente en el intervalo si en todo el intervalo .

 

• Extremos. Una función , continua y derivable en un intervalo , alcanza sus máximos y mínimos relativos en los puntos del intervalo en los que . Además, si estudiamos la segunda derivada,tendremos un

 

• Máximo relativo si y .
• Mínimo relativo si y .

 

Conceptos relacionados con el estudio de f''

• Curvatura. En una función dos veces derivable, podemos estudiar la curvatura de la siguiente forma:

 

• Convexa(U) en los intervalos donde .

 

• Cóncava(∩) en los intervalos en los que .

 

• Puntos de inflexión son los puntos donde cambia la curvatura. Por tanto se cumple que . Para que efectivamente sean puntos de inflexión debe cumplirse en ellos, además, que .

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