¿Paralelas, secantes, coincidentes?, las rectas en el plano pueden estar de muchas formas entre sí y estudiar la posición relativa entre ellas es interesante puesto que a partir de ahí podemos deducir cuántos puntos en común tienen. ¿Y eso de qué nos sirve? te preguntarás. Pues verás como son fundamentales para elaborar las rutas alternativas en tu producto final.
Vamos a ver un ejemplo, imagínate que las líneas rectas describen la distancia que separa a dos corredores en una carrera, podemos comprobar si hay algún momento que uno adelanta a otro durante el recorrido, o si van juntos, o si los dos empiezan a la vez o uno sale antes que otro. Como ves es mucho el análisis que podemos hacer del estudio de las rectas y su posición relativa.
Las rectas en el plano pueden estar de muchas formas entre sí.
Estudiar la posición relativa entre las rectas es interesante.
Si partes de la posición relativa entre rectas
puedes deducir cuántos puntos tienen en común.
La posición relativa de las rectas es fundamental
para elaborar las rutas alternativas en tu producto final.
Por ejemplo.
Imagina que las líneas rectas describen la distancia
que separa a dos corredores en una carrera.
Puedes comprobar si hay algún momento que:
Un corredor adelanta al otro corredor durante el recorrido,
Los dos corredores van juntos.
Los dos corredores empiezan a la vez.
Un corredor sale antes que el otro corredor.
Observa que puedes hacer una análisis completo del estudio de las rectas y
su posición relativa.
1. Posición relativa de dos rectas en el plano
Te voy a mostrar las posibles posiciones relativas de dos rectas, pero en el plano. Es importante hacer esa aclaración ya que si aumentamos 1 dimensión y nos situamos en el espacio (3 dimensiones), aparecerá otra posición más que no está en el plano (2 dimensiones), pero eso lo estudiarás más adelante, nosotros nos vamos a quedar en el plano.
Clasificación
Como te contaba antes, en el plano dos rectas pueden ser:
Paralelas: Si no tienen ningún punto en común serán paralelas. Si hablamos de vectores directores diremos que dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director, pero claro esto va a tener un problema que vamos a ver a continuación.
Coincidentes: Dos rectas coincidentes también van a tener el mismo vector director como las paralelas, pero la diferencia está en sus puntos en común, y es que van a tener $\infty$ puntos en común. Las dos rectas son las mismas.
Secantes: Dos rectas serán secantes si tienen diferentes direcciones, es decir, diferentes vectores directores, así que se van a cortar en un solo punto. ¿Cómo averiguamos ese punto en común?. Siempre, en matemáticas, si tenemos ecuaciones que describen algo y queremos averiguar puntos en común, tendremos que hacer un sistema entre esas ecuaciones, así que tendremos que hacer un sistema entre las ecuaciones de la recta, para hallar el punto en común de ambas.
Vamos a verlas en la práctica y a manipular un poco. Pincha en el punto blanco y consigue que las rectas estén en la posición que se indica.
Según vector director
Ahora tenemos solo los vectores directores de las rectas, ¿podríamos saber su posición relativa?. Pues sí, imagina que la recta s posee un vector director $\vec{s}=(s_1,s_2)$ y la recta v tiene un vector director de coordenadas $\vec{v}=(v_1,v_2)$. Su clasificación sería:
Paralelas: $\dfrac{s_2}{s_1}=\dfrac{v_2}{v_1}$ y con la siguiente condición, si $Q \in \textbf{s} \Rightarrow Q \notin \textbf{v}$. $Q$ es un punto del plano.
Coincidentes: $\dfrac{s_2}{s_1}=\dfrac{v_2}{v_1}$ y con la siguiente condición, si $Q \in \textbf{s} \Rightarrow Q \in \textbf{v}$
Secantes: $\dfrac{s_2}{s_1}\neq \dfrac{v_2}{v_1}$
Según la pendiente
Solo tenemos las pendientes de las rectas ¿podríamos saber su posición relativa? Sea la recta r de pendiente $m_1$ y la recta s de pendiente $m_2$.
Paralelas: $m_1 = m_2$ y con la siguiente condición, si $Q \in \textbf{s} \Rightarrow Q \notin \textbf{v}$. $Q$ es un punto del plano.
Coincidentes: $m_1 = m_2$ y con la siguiente condición, si $Q \in \textbf{s} \Rightarrow Q \in \textbf{v}$.
Secantes: $m_1 \neq m_2$
Según la ecuación general
Una situación habitual, es tener las ecuaciones generales de la recta, ¿podríamos saber su posiciones relativas con ellas?. Sean las rectas $\textbf{r}\equiv Ax+By+C=0$ y $\textbf{s}\equiv A'x+B'y+C'=0$, la clasificación sería:
Lo que viene a continuación está escrito con unos símbolos y encierra un significado que puede ser que aún no entiendas. ¿Qué quiere decir?. El símbolo $\in$ tienes que sustituirlo por "pertenece" y el $\notin$ por "no pertenece". Así que "si $Q$ pertenece a la recta s, entonces $Q$ no pertenece a la recta v.
Lo que viene a continuación está escrito con unos símbolos y encierra un significado que puede ser que aún no entiendas. ¿Qué quiere decir?. El símbolo $\in$ tienes que sustituirlo por "pertenece". Así que "si $Q$ pertenece a la recta s, entonces $Q$ pertenece a la recta v.
Lo que viene a continuación está escrito con unos símbolos y encierra un significado que puede ser que aún no entiendas. ¿Qué quiere decir?. El símbolo $\in$ tienes que sustituirlo por "pertenece" y el $\notin$ por "no pertenece". Así que "si $Q$ pertenece a la recta s, entonces $Q$ no pertenece a la recta v.
Lo que viene a continuación está escrito con unos símbolos y encierra un significado que puede ser que aún no entiendas. ¿Qué quiere decir?. El símbolo $\in$ tienes que sustituirlo por "pertenece". Así que "si $Q$ pertenece a la recta s, entonces $Q$ pertenece a la recta v.
Lectura facilitada
Vas a conocer las posiciones relativas de dos rectas en el plano.
En el plano aparecen dos dimensiones.
En el espacio aparecen tres dimensiones.
Ahora vas a trabajar sobre el plano.
Clasificación
En el plano dos rectas pueden ser:
Paralelas:
Las rectas paralelas no tienen ningún punto en común.
Vectores directores: dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director.
Coincidentes:
Dos rectas coincidentes tienen el mismo vector director como las paralelas.
Dos rectas coincidentes van a tener $\infty$ puntos en común.
Recuerda que $\infty$ puntos significa infinitos puntos.
Las dos rectas son las mismas.
Secantes:
Dos rectas secantes tienen diferentes direcciones.
Dos rectas secantes tienen diferentes vectores directores.
Dos rectas secantes se van a cortar en un solo punto.
Para averiguar el punto en común de dos rectas tienes
que hacer un sistema entre las ecuaciones de la recta.
Pincha en el punto blanco que aparece en la gráfica y
consigue que las rectas estén en la posición que se indica.
Según vector director
Tienes los vectores directores de las rectas para saber su posición relativa.
La recta s posee un vector director $\vec{s}=(s_1,s_2)$.
La recta v tiene un vector director de coordenadas $\vec{v}=(v_1,v_2)$.
Su clasificación sería:
Paralelas: $\dfrac{s_2}{s_1}=\dfrac{v_2}{v_1}$ y con la siguiente condición, si $Q \in \textbf{s} \Rightarrow Q \notin \textbf{v}$. $Q$ es un punto del plano.
Coincidentes: $\dfrac{s_2}{s_1}=\dfrac{v_2}{v_1}$ y con la siguiente condición, si $Q \in \textbf{s} \Rightarrow Q \in \textbf{v}$
Secantes: $\dfrac{s_2}{s_1}\neq \dfrac{v_2}{v_1}$
Según la pendiente
Tienes las pendientes de las rectas para saber su posición relativa.
La recta r de pendiente $m_1$.
La recta s de pendiente $m_2$.
Paralelas: $m_1 = m_2$ y con la siguiente condición, si $Q \in \textbf{s} \Rightarrow Q \notin \textbf{v}$. $Q$ es un punto del plano.
Coincidentes: $m_1 = m_2$ y con la siguiente condición, si $Q \in \textbf{s} \Rightarrow Q \in \textbf{v}$.
Secantes: $m_1 \neq m_2$
Según la ecuación general
Tienes las ecuaciones generales de la recta para saber su posiciones relativas.
Lo que viene a continuación está escrito con unos símbolos y encierra un significado que puede ser que aún no entiendas. ¿Qué quiere decir?. El símbolo $\in$ tienes que sustituirlo por "pertenece" y el $\notin$ por "no pertenece". Así que "si $Q$ pertenece a la recta s, entonces $Q$ no pertenece a la recta v.
Lo que viene a continuación está escrito con unos símbolos y encierra un significado que puede ser que aún no entiendas. ¿Qué quiere decir?. El símbolo $\in$ tienes que sustituirlo por "pertenece". Así que "si $Q$ pertenece a la recta s, entonces $Q$ pertenece a la recta v.
Lo que viene a continuación está escrito con unos símbolos y encierra un significado que puede ser que aún no entiendas. ¿Qué quiere decir?. El símbolo $\in$ tienes que sustituirlo por "pertenece" y el $\notin$ por "no pertenece". Así que "si $Q$ pertenece a la recta s, entonces $Q$ no pertenece a la recta v.
Lo que viene a continuación está escrito con unos símbolos y encierra un significado que puede ser que aún no entiendas. ¿Qué quiere decir?. El símbolo $\in$ tienes que sustituirlo por "pertenece". Así que "si $Q$ pertenece a la recta s, entonces $Q$ pertenece a la recta v.
Audio
2. Cada recta en su sitio
Como has podido comprobar la forma de saber las posiciones relativas de las rectas en el plano, va a depender de los datos que tengamos de ellas. Hemos visto hasta 4 maneras diferentes de clasificarlas según la información disponible de ellas. Ahora vamos a practicar lo que hemos visto...
Opción A: ¿Nos tocamos o no?
Arrastra los puntos A y B para mover las rectas $\mathbf{\vec{r}}$ y $\mathbf{\vec{s}}$ de posición y modificar los vectores directores dados de cada recta. Mueve los deslizadores para variar las pendientes. Extrae las ecuaciones de las rectas de las 3 posiciones distintas que pueden tener estas y comprueba que tienen la posición indicada a través de los contenidos explicados más arriba.
Opción B: LABORATORIO
Volvemos al laboratorio de rectas y a investigar sobre ellas. Te vuelvo a poner una ficha abajo para que tengas un hilo conductor.
Opción C: ¿Qué te dicen los vectores?
En tu cuaderno, realiza el ejercicio que te propongo y cuando creas que lo has resuelto, pulsa en solución. El botón cambiará a "Ejercicio" pulsa en él y obtendrás otro ejercicio. Realiza el estudio de la posición relativa de las dos rectas por sus vectores directores, así que primero los tendrás que hallar y luego estudiar la posición relativa de las rectas según esos vectores directores.
Opción D: ¿Qué te dicen las pendientes?
En tu cuaderno, realiza el ejercicio que te propongo y cuando creas que lo has resuelto, pulsa en solución. El botón cambiará a "Ejercicio" pulsa en él y obtendrás otro ejercicio. Realiza el estudio de la posición relativa de las dos rectas por sus pendientes, así que primero los tendrás que hallar y luego estudiar la posición relativa de las rectas según esas pendientes halladas.
Opción E: ¿Qué te dicen las ecuaciones?
En tu cuaderno, realiza el ejercicio que te propongo y cuando creas que lo has resuelto, pulsa en solución. El botón cambiará a "Ejercicio" pulsa en él y obtendrás otro ejercicio. Realiza el estudio de la posición relativa de las dos rectas por la relación entre los coeficientes de las ecuaciones generales de las rectas, así que primero los tendrás que hallar y luego estudiar la posición relativa de las rectas según esa relación entre los coeficientes.
3. Reviso lo que aprendo
Reflexiona un momento sobre todo lo que has aprendido hasta llegar aquí.
Y completa el PASO 3 de tu Diario de Aprendizaje (Reviso lo aprendido).
Recuerda:
Pregunta a tu profesor o profesora si la rellenarás en papel o en el ordenador.
Si la rellenas en el ordenador, ¡no te olvides de guardarla en tu ordenador cuando la termines!
