Ecuación vectorial

Empezamos por la ecuación vectorial, donde la recta va a quedar definida por un vector que es el que va a dar la dirección de la recta y un punto conocido de ella. 

Imagina que es A el punto de la recta que conocemos y que tiene de coordenadas $A=(a_1,a_2)$. Cualquier punto de la recta, por ejemplo P con coordenadas $P=(p_1,p_2)$ podría hallarlo ya que  $$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OA} + t · \vec{v}$$

Donde t es un número real. Esto es lógico porque el vector $\vec{v}$ lo puedo aumentar o disminuir de tamaño lo que quiera, multiplicándolo por un número, así que seguro que existe un número real que al multiplicarlo por $|\vec{v}|$ da exactamente la distancia que separa al punto  A del P y será exactamente el módulo del vector $\overrightarrow{AP}$. Así que la ecuación de la recta que pasa por el punto A y tiene de vector director $\vec{v}$ viene dada por:

$$\begin{equation}\boxed{(x,y) = (a_1,a_2) + t · (v_1,v_2)}\label{vectorial}\end{equation}$$

Donde $(x,y)$ son las coordenadas de cualquier punto de la recta y $(v_1,v_2)$ son las coordenadas del vector director.

Ecuación paramétrica

Si en la ecuación vectorial $\ref{vectorial}$ nos quedamos por un lado con las primeras coordenadas y por otro con las segundas coordenadas, nos quedará la ecuación paramétrica de la recta.

$$\begin{equation}\boxed{\left \{ x  = a_1 + t · v_1 \atop y = a_2 + t · v_2 \right.}\label{parametrica}\end{equation}$$

Esta sería la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto A de coordenadas $(a_1,a_2)$ y de vector director $\vec{v}=(v_1,v_2)$. 

Ecuación continua

Si en la ecuación paramétrica $\ref{parametrica}$ despejamos el parámetro (de ahí el nombre), es decir la t en ambas ecuaciones e igualamos, obtenemos la ecuación continua.

$$\left \{ t = \dfrac{x - a_1}{v_1} \atop t = \dfrac{y - a_2}{v_2} \right.$$

Y al igualar las dos ecuaciones nos quedaría la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A de coordenadas $(a_1,a_2)$ y de vector director $\vec{v}=(v_1,v_2)$. 

$$\begin{equation}\boxed{  \dfrac{x - a_1}{v_1} = \dfrac{y - a_2}{v_2}  }\label{continua}\end{equation}$$

Ecuación punto pendiente

Si en la ecuación continua $\ref{continua}$ despejamos $y-a_2$ y llamamos m a la pendiente de la recta, siendo $m = \dfrac{v_2}{v_1}$ obtenemos la ecuación punto pendiente.

$y - a_2 = \dfrac{v_2}{v_1} (x - a_1)$ con lo que si aplico entonces que $m = \dfrac{v_2}{v_1}$

Al despejar, por tanto, $y - a_2$ obtenemos la ecuación punto pendiente de la recta que pasa por el punto A de coordenadas $(a_1,a_2)$ y que tiene de pendiente m.

$$\begin{equation}\boxed{  y - a_2 = m · (x - a_1)  }\label{puntopendiente}\end{equation}$$

El concepto de pendiente de la recta, m, va a estar relacionado con el ángulo respecto a la horizontal de esta y para practicar con la ecuación punto pendiente, ya que suele ser muy utilizada y entender bien el concepto de pendiente, pásate por el laboratorio de ecuaciones.

Ecuación explícita

Si en la ecuación punto pendiente $\ref{puntopendiente}$ despejamos y, obtenemos la ecuación explícita de la recta. 

$  y - a_2 = m · (x - a_1) \Longrightarrow y = m · x - m · a_1 + a_2  $ y si ahora llamamos $\textbf{n} = a_2 - m · a_1$ nos que daría:

$$\begin{equation}\boxed{  y  = m · x + n  }\label{explicita}\end{equation}$$

Al despejar por tanto y, obtenemos la ecuación explícita de la recta con pendiente m y ordenada en el origen n. Este nuevo elemento de la recta, n, va a ser el punto del eje de ordenadas (Y) que corta la recta, por eso se llama ordenada en el origen. 

Ecuación general

Si ahora nos vamos de nuevo a la ecuación continua $\ref{continua}$, quitamos denominadores y despejamos todo agrupándola a un lado del igual, llegamos a la ecuación general de la recta.

$\dfrac{\textbf{x} - a_1}{v_1} = \dfrac{\textbf{y} - a_2}{v_2} \hspace{1em} \Longrightarrow \hspace{1em} v_2 · (\textbf{x} - a_1) = (\textbf{y} - a_2) · v_1 \hspace{1em} \Longrightarrow \hspace{1em} v_2 ·\textbf{x} - v_1 · \textbf{y} + a_2 · v_1 - a_1 · v_2 = 0$

Si ahora llamamos $A=v_2$, $B=-v_1$ y $C=a_2 · v_1 - a_1 · v_2$ obtenemos las ecuación general de la recta.

$$\begin{equation}\boxed{A\textbf{x} + B\textbf{y} + C = 0}\label{general}\end{equation}$$

Al agrupar términos por tanto obtenemos la ecuación general de la recta. Si tenemos por tanto la ecuación general, acuérdate que el vector (-B,A) es el vector director de la recta y que el vector (A,B) es el vector perpendicular de la recta.

Ecuación canónica

La ecuación canónica de la recta o también conocida como segmentaria es la ecuación que se forma con los segmentos (de ahí su nombre) que se forman al cortar la recta, tanto al eje Y como al eje X. 

Si una recta corta al eje X en el punto $A = (a_1,0)$ y al eje Y en el punto $B = (0,b_2)$ la ecuación de la recta canónica sería:

$$\begin{equation}\boxed{\dfrac{x}{a_1}+\dfrac{y}{b_2}=1}\label{canonica}\end{equation}$$

En el ejemplo de la izquierda la ecuación de la recta canónica sería:

$$\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=1$$