Acabamos de ver, que los vectores son familias de los segmentos, pero con "principio" y "final". Pero dentro de todos los vectores que podemos representar ¿qué relación mantienen unos con otros respecto a la posición de unos y otros?
Las coordenadas de un vector son muy importantes, porque puedes tener mucha información de ellos estudiándolas. Por ejemplo puedes saber la posición relativa de dos vectores viendo si se cumplen ciertas condiciones en sus coordenadas. Por ejemplo ¿cuándo dos vectores son perpendiculares? Si tienes dos vectores $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$ y $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$ estos serán perpendiculares cuando se cumpla:
$$\mathbf{a_1·b_1 + a_2·b_2 = 0}$$
Igualmente pasa cuando los vectores que son paralelos, existen unas condiciones en las coordenadas de ambos que si se dan no hace falta verlos gráficamente para intuir que son paralelos. La condición de paralelismo sería:
$$\mathbf{\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}}$$
Definición:
Línea recta que corta a otra línea formando un ángulo de 90 grados.
Ejemplo:La recta S es perpendicular a la recta R.
Las coordenadas de un vector son muy importantes
porque puedes tener mucha información de los vectores estudiando las coordenadas.
Por ejemplo.
Puedes saber la posición relativa de dos vectores viendo si se cumplen ciertas condiciones en sus coordenadas. Por ejemplo.
¿Cuándo dos vectores son perpendiculares perpendiculares?
Si tienes dos vectores $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$ y $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$ estos serán perpendiculares cuando se cumpla:
$$\mathbf{a_1·b_1 + a_2·b_2 = 0}$$
Un vector es paralelo a otro cuando sus coordenadas son proporcionales.
Por ejemplo.
El vector v tendría la misma dirección que u.
El vector v tiene sentido opuesto y es el doble de largo.
Un vector paralelo a otro indica la misma dirección.
La condición de paralelismo sería:
$$\mathbf{\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}}$$
Definición:
Línea recta que corta a otra línea formando un ángulo de 90 grados.
Ejemplo:La recta S es perpendicular a la recta R.
En matemáticas, muchas cosas aparecen para representar de una manera abstracta algo que está en la realidad. Es el caso de los vectores, que aparecen porque hay determinadas magnitudes que no es suficiente representarlas con solamente un número. Necesitas un módulo, una dirección y un sentido, como por ejemplo la velocidad de un cuerpo.
Si tenemos dos bolas y queremos representar sus velocidades, necesitamos representarlas con un vector y de esa manera tengo información de la magnitud de su velocidad y hacia dónde "apunta" esa velocidad en un instante dado. Vamos a ver un ejemplo de lo que estamos hablando, vamos a ir a nuestro laboratorio para estudiar diferentes casos.
Ya hemos visto la suma de vectores gráficamente de dos maneras diferentes. Aquí representada estaría la regla del paralelogramo, pero ¿cómo sería sumar vectores a través de sus coordenadas?. Muy fácil, sumaríamos todas las primeras coordenadas y luego todas las segundas coordenadas. Si $\vec{a}=(a_1,a_2)$ y $\vec{b}=(b_1,b_2)$:
$\mathbf{\vec{c}=(a_1+b_1,a_2+b_2)}$
Hay que tener cuidado con la diferencia de vectores, porque ¿$\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}$ o $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$?. La cuestión es que la diferencia de vectores teniendo en cuenta sus coordenadas, es la diferencia entre las primeras coordenadas y la diferencia entre las segundas coordenadas. Si $\vec{a}=(a_1,a_2)$ y $\vec{b}=(b_1,b_2)$:
$\mathbf{\vec{c}=(a_1-b_1,a_2-b_2)}$
Recuerda siempre que es, vector que llega al punto final, menos vector que llega al punto origen. Así que aquí sería $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$. También puedes pasarlo a suma si lo ves mejor.
Has visto la suma de vectores gráficamente
de dos maneras diferentes.
Observa la gráfica.
En esta gráfica está representada la regla del paralelogramo.
¿Cómo puedes sumar vectores a través
de sus coordenadas?
1º Sumar todas las primeras coordenadas.
2º Sumar todas las segundas coordenadas.
Si $\vec{a}=(a_1,a_2)$ y $\vec{b}=(b_1,b_2)$:
$\mathbf{\vec{c}=(a_1+b_1,a_2+b_2)}$
La diferencia de vectores teniendo en cuenta
sus coordenadas es la diferencia entre
las primeras coordenadas y
la diferencia entre las segundas coordenadas.
Si $\vec{a}=(a_1,a_2)$ y $\vec{b}=(b_1,b_2)$:
$\mathbf{\vec{c}=(a_1-b_1,a_2-b_2)}$
Recuerda siempre que es, vector que llega al punto final, menos vector que llega al punto origen. Así que aquí sería $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$. También puedes pasarlo a suma si lo ves mejor.
Selecciona verdadero o falso según corresponda:
Falso
Recuerda que además de la dirección y el sentido necesitamos conocer el módulo del vector; un vector es un segmento con un principio y un final que determina su módulo.
Verdadero
Recuerda que el vector se forma por la componente x (primera coordenada y vector paralelo al eje de abscisas o eje X) y la componente y (segunda coordenada y paralelo al eje de ordenadas o eje Y).
Falso
Recuerda cómo se calcula el módulo de un vector y comprueba el resultado:
Verdadero
Si conoces las coordenadas del vector A(a1, a2) y del vector B(b1, b2) serán:
Falso
Otra que está permitida realizar con vectores es la multiplicación de un número por un vector.
Vamos a utilizar Geogebra para realizar algunas cosas de los vectores.
Anotad los resultadas de estas cuestiones en vuestra libreta y coméntalas con los compañeros. Recuerda este último resultado en la generalización de los $\infty$ vectores perpendiculares porque haré referencia a él.
Recuerda la relación que tienen que cumplir las coordenadas de los dos vectores para que sean perpendiculares y al poner un vector, hazlo en forma general (con letras), con lo que tendrás una ecuación con dos incógnitas.
En tu cuaderno, realiza el ejercicio que te propongo y cuando creas que lo has resuelto, pulsa en solución. El botón cambiará a "Ejercicio" pulsa en él y obtendrás otro ejercicio.
En tu cuaderno, realiza el ejercicio que te propongo y cuando creas que lo has resuelto, pulsa en solución. El botón cambiará a "Ejercicio" pulsa en él y obtendrás otro ejercicio.
Ya conoces la fórmula para calcular el módulo de un vector. Conocidas las coordenadas del punto $A(a_1,a_2)$ y del punto $B(b_1,b_2)$ que determinan un vector su módulo viene dado por:
$$\boxed{|\mathbf{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^2+(b_{2}-a_{2})^2}}$$
¿Te atreves a demostrar esta fórmula?
Para la demostración debes utilizar el Teorema de Pitágoras y la descomposición del vector en sus componentes.
No, no eres raro. Es muy frecuente que cuando estamos trabajando hablemos en silencio con nosotros mismos. Es una forma de comprender mejor lo que hacemos y de buscar soluciones a las tareas o actividades.
De hecho, te aconsejo que lo hagas con mucha frecuencia porque te ayudará a:
Habla contigo mismo y aprenderás mejor.
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