Vector. Módulo, dirección y sentido.

Lo primero que nos preguntamos cuando empezamos a estudiar algo, lógicamente es ¿qué es? y en este caso nos toca preguntarnos ¿qué es un vector?. Un vector es un ente matemático como puede ser la recta o el plano. Un vector es un segmento pero que empieza en un punto A y termina en otro punto B, es decir tiene principio y final y estos están claramente identificados, o sea, uno de los extremos va a ser el inicio del vector y por tanto el otro será su final, que suele representarse por la punta de una flecha. 

Todo en la vida tiene un nombre y los vectores no van a ser menos, se nombran, primero con el punto inicial (los puntos se nombran con una letra en mayúsculas) seguido del punto final y encima una flecha $\mathbf{\overrightarrow{AB}}$. Los vectores tienen 3 propiedades a tener en cuenta, su módulo que es lo que mide el segmento, dirección que es la recta que contiene al vector o alguna de las rectas paralelas a este y su sentido que es la orientación del segmento y siempre lo va a marcar la punta de flecha. También se pueden nombrar con una letra minúscula que representaría al segmento y una flecha encima, ej. $\mathbf{\vec{u}}$

Coordenadas y descomposición

Un vector queda definido por sus coordenadas. Las coordenadas de un vector $\mathbf{\overrightarrow{AB}}$ sería las coordenadas del punto extremo $B(b_1,b_2)$ menos la del punto origen $A(a_1,a_2)$. De esta manera las coordenadas de $\mathbf{\overrightarrow{AB}}$ serían:

$$\boxed{\mathbf{\overrightarrow{AB}}=B-A=(b_1-a_1,b_2-a_2)}$$

Con las coordenadas de un vector, tenemos otra manera de ver los vectores y es como suma de otros dos, uno con la componente x (primera coordenada y vector paralelo al eje de abscisas o eje X) y otro con la componente y (segunda coordenada y paralelo al eje de ordenadas o eje Y). Es decir que un vector podemos siempre descomponerlo en dos, uno paralelo al eje X y otro paralelo al eje Y. Te lo muestro es las tres imágenes de abajo, de todos modos, si no terminas de verlo mira nuestro laboratorio de vectores y juega con las componentes de un vector.

Módulo

Ahora que ya sabes muchas cosas de los vectores, puedes comprender que el módulo de un vector $\mathbf{\overrightarrow{AB}}$ que lo vamos a notar como $|\mathbf{\overrightarrow{AB}}|$ es igual a:

$$\boxed{|\mathbf{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^2+(b_{2}-a_{2})^2}}$$

Donde $(a_1, a_2)$ son las coordenadas del punto A y $(b_1, b_2)$ las del punto B. Esto se puede demostrar gracias a la descomposición de un vector en sus componentes y el Teorema de Pitágoras. ¿Te atreves?.

Suma de vectores

Como los números, los vectores también se suman y se restan. Para sumar vectores, podemos hacerlo de dos maneras:

1. Coloca los dos vectores para que coincidan sus puntos iniciales y para hallar el vector suma, se aplica la regla del paralelogramo:
   • Se sitúan los dos vectores para que coincidan sus orígenes.
   • Desde el extremo de cada uno se dibuja una paralela al otro vector. Al final podremos ver un paralelogramo de ahí el nombre de la regla.
   • El vector suma será el que parte desde el origen común y a través de la diagonal del paralelogramo.
2. Desplazamos un vector de tal manera que coincida el origen de uno con extremo del otro y así sucesivamente con todos los vectores que queramos sumar. El vector suma de todos será el que se inicia desde el comienzo del primer vector hasta el extremo del último vector. 

Ya sabes cómo se suman vectores. Aquí debajo puedes practicar y si lo haces bien, te aparecerá el vector resultante. Prueba con el método 2. 

Resta de vectores

En cuanto a la resta, tienes que colocar los dos vectores haciendo que coincidan sus orígenes y el vector resultante de restarlos irá desde el extremo del sustraendo al extremo del minuendo. Vamos a verlo gráficamente.

Ya sabes cómo restar vectores. Practica aquí debajo y fíjate en la diferencia de seleccionar $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$  o  $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$

Multiplicación de un número por un vector

El resultado de multiplicar un número real K por un vector, es el mismo vector, pero con el módulo multiplicado por ese número K. Si el número fuese negativo, el sentido del vector cambiaría. Vamos a probarlo de forma práctica: